The Hodge conjecture for Weil fourfolds with discriminant 1 via singular OG6-varieties

We give a new proof of the Hodge conjecture for abelian fourfolds of Weil type with discriminant 1 and all of their powers. The Hodge conjecture for these abelian fourfolds was proven by Markman using hyperholomorphic sheaves on hyper-Kähler varieties of generalized Kummer type, and by constructing semiregular sheaves on abelian varieties. Our proof instead relies on a direct geometric relation between abelian fourfolds of Weil type with discriminant 1 and the six-dimensional hyper-Kähler varieties K ˜ of O'Grady type arising as crepant resolutions K ˜ → K of a locally trivial deformation of a singular moduli space of sheaves on an abelian surface. As applications, we establish the Hodge conjecture and the Tate conjecture for any variety K ˜ of OG6-type as above, and all of its powers. Nous donnons une nouvelle démonstration de la conjecture de Hodge pour les variétés abéliennes de dimension 4 de type Weil de discriminant 1, ainsi que pour toutes leurs puissances. La conjecture de Hodge pour ces variétés abéliennes de dimension 4 a été démontrée par Markman à l'aide de faisceaux hyperholomorphes sur des variétés hyperkählériennes de type Kummer généralisé, ainsi que par la construction de faisceaux semiréguliers sur des variétés abéliennes. Notre démonstration repose au contraire sur une relation géométrique directe entre les variétés abéliennes de dimension 4 de type Weil de discriminant 1, et les variétés hyperkählériennes K ˜ de dimension six de type O'Grady, qui apparaissent comme des résolutions symplectiques K ˜ → K d'une déformation localement triviale d'un espace de modules singulier de faisceaux sur une surface abélienne. Comme applications, nous établissons la conjecture de Hodge et la conjecture de Tate pour toute variété K ˜ de type OG6 comme ci-dessus, ainsi que pour toutes ses puissances.