Localized bounds on log-derivatives of the heat kernel on incomplete Riemannian manifolds

Des bornes sur les dérivées logarithmiques du noyau de la chaleur sur une variété riemannienne compacte sont connues depuis longtemps et ont été récemment étendues, dans le cas du log-gradient et de la log-hessienne, aux variétés riemanniennes complètes générales, par Chen–Li–Wu. Ici, en s’appuyant sur des asymptotiques du noyau de la chaleur antérieures de Léandre et Bailleul–Norris, nous étendons ces bornes aux variétés riemanniennes incomplètes sous une faible hypothèse de distance à l’infini, pour des dérivées de tout ordre. De plus, nous ne considérons pas uniquement le noyau de la chaleur usuel associé à l’opérateur de Laplace–Beltrami, mais permettons également l’ajout d’un champ de vecteurs conservatif. Nous montrons que ces bornes sont optimales en général, même pour des variétés compactes, et nous discutons les difficultés qui émergent lorsque l’opérateur comprend des champs de vecteurs non conservatifs ou que la structure riemannienne est affaiblie en une structure sous-riemannienne.