On the robustness of spatial quantiles

Les quantiles spatiaux comptent parmi les concepts de quantiles multivariés qui ont rencontré le plus grand succès. En particulier, ces quantiles sont essentiellement les seuls qui peuvent être calculés en grande dimension. Ils ont fait l’objet d’une activité de recherche intense au cours des deux dernières décennies, mais, de façon surprenante, on sait très peu au sujet de leur robustesse. Dans ce travail, nous étudions en détail le point de rupture des quantiles spatiaux. Nous adoptons trois approches, qui ont chacune des avantages propres. La première approche est constructive : elle est conceptuellement simple et nous permet d’obtenir le point de rupture exact des quantiles spatiaux. Si la seconde approche n’est pas constructive et ne permet pas d’identifier le point de rupture global des quantiles spatiaux, elle fournit une borne supérieure sur le point de rupture associé à des contaminations dans une direction fixée. Elle nous permet par ailleurs de déterminer le point de rupture des quantiles spatiaux Lp pour tout p>1. Enfin et surtout, la troisième approche caractérise précisément quand la rupture survient sous un quelconque schéma de contamination fixé, ce qui fournit les points de rupture associés à des scenarios de contamination très divers. De façon intéressante, cette dernière approche couvre de plus les cas où la contamination et/ou la mesure de probabilité de référence sont des distributions continues. Un corollaire surprenant de nos résultats montre que le point de rupture “pratique” en grande dimension excède le point de rupture théorique. Tout au long de l’article, nos résultats théoriques sont illustrés par des exercices numériques. Une partie de nos résultats couvrent également les espaces de Hilbert de dimension infinie.