Gaussian beta ensembles: The perfect freezing transition and its characterization in terms of Beurling–Landau densities

Le β-ensemble gaussien est une configuration de n points réels {xj}1n choisis aléatoirement par rapport au facteur de Boltzmann e−β2Hn, où Hn=∑ i≠jlog1| xi−xj|+n∑ i=1n1 2xi2. On sait que le processus ponctuel {xj}1n tend à suivre la loi du demi-cercle σ(x)=1 2π (4−x2)+ dans un certain sens des moyennes. Une configuration de Fekete (un minimiseur de Hn) est répartie de manière beaucoup plus uniforme dans l’intervalle [−2,2] par rapport à la régularisation σn(x)=max{σ(x),n−13} de la loi du demi-cercle. En particulier, les configurations de Fekete sont “équidistribuées” par rapport à σn(x), dans un certain sens technique des densités de Beurling–Landau. Nous considérons le problème consistant à caractériser les suites βn de températures inverses qui garantissent une équidistribution presque sûre lorsque n→∞. Nous trouvons qu’une condition nécessaire et suffisante est que βn croisse au moins logarithmiquement en n : βn≳logn. Nous appelons ce taux de croissance le régime de congélation parfaite. En cours de route, nous donnons plusieurs résultats supplémentaires sur la distribution des particules lorsque βn≳logn, par exemple sur l’espacement minimal et les écarts, et montrons que, avec une haute probabilité, un échantillon aléatoire résout certains problèmes d’échantillonnage et d’interpolation pour des polynômes pondérés. (Dans ce contexte, les ensembles de Fekete correspondent à β≡∞.) La condition βn≳logn a été introduite dans des travaux antérieurs par certains des auteurs dans le contexte des ensembles de gaz de Coulomb bidimensionnels, où il est montré qu’elle est suffisante pour l’équidistribution. Il est intéressant de noter que, bien que la mise en œuvre technique nécessite des modifications considérables, la stratégie de la dimension deux s’adapte bien pour prouver la suffisance également pour les ensembles gaussiens unidimensionnels. Sur le plan technique, nous utilisons des estimations pour les polynômes pondérés dues entre autres à Levin, Lubinsky, Gustavsson. L’autre direction (la nécessité) implique des estimations dues à Ledoux et Rider sur la distribution des particules qui tombent près ou en dehors de la frontière.