A Gaussian convexity for logarithmic moment generating functions with applications in spin glasses

Pour toute fonction convexe F d’un vecteur gaussien g de dimension n tel que EeλF(g)0, nous montrons que λ−1lnEeλF(g) est convexe en λ∈R. En nous basant sur cette convexité, nous en tirons trois principales conséquences. La première retrouve une version de l’inégalité de déviation inférieure de Paouris–Valettas pour les fonctions convexes gaussiennes avec un exposant amélioré. La deuxième établit une borne quantitative pour la conjecture de Dotsenko–Franz–Mézard, issue de l’étude du modèle de verre de spin de Sherrington–Kirkpatrick (SK) en champ moyen, qui affirme qu’en l’absence de champ externe, l’énergie libre recuite des répliques négatives est asymptotiquement égale à l’énergie libre. La dernière établit en outre la différentiabilité pour cette énergie libre recuite par rapport à la variable de réplique négative, à toute température et champ externe.