Lipschitz cutset for fractal graphs and applications to the spread of infections

Nous considérons un graphe fractal G qui est un triangle ou un tapis de Sierpiński en dimension d≥2. À l’instant 0, nous plaçons un ensemble de particules sur le graphe, donné par un processus ponctuel de Poisson, et les laissons effectuer des marches aléatoires simples indépendantes, qui dans ce cadre présentent un comportement sous-diffusif. Nous généralisons le concept de percolation Lipschitz dépendante du processus de particules au graphe espace-temps G×R, où l’état ouvert/fermé des cellules espace-temps est mesurable par rapport au processus de particules à l’intérieur de la cellule. Nous fournissons ensuite une application de ce cadre généralisé et prouvons l’énoncé suivant : si les particules peuvent propager une infection lorsqu’elles partagent un site de G, et si elles se rétablissent indépendamment à un certain taux γ>0, alors si γ est suffisamment petit, l’infection débutée avec une seule particule infectée survit indéfiniment avec une probabilité positive.