Chaos, concentration and multiple valleys in first-passage percolation

Il y a une quinzaine d’années, Chatterjee a établi la première connexion rigoureuse entre fluctuations anormales et comportement chaotique de l’état fondamental dans certains systèmes avec désordre gaussien. Le but de cet article est de montrer que le travail de Chatterjee apporte la preuve d’un principe plus général, en établissant une connexion analogue entre fluctuations et chaos dans le contexte de la percolation de premier passage. La notion de « chaos » fait ici référence à la sensibilité du chemin minimisant le temps entre deux points lorsqu’il est exposé à une légère perturbation. Plus précisément, nous ré-échantillonnons une petite proportion des poids des arêtes et constatons qu’une fraction nulle des arêtes sur le chemin minimisant le temps appartient toujours au chemin minimisant le temps obtenu après ré-échantillonnage. Nous identifions également le point auquel le système passe de stable à chaotique en termes de variance du système. Enfin, nous montrons que le comportement chaotique implique l’existence d’un grand nombre de chemins presque optimaux qui sont presque disjoints du chemin minimisant le temps, un phénomène connu sous le nom de « vallées multiples ».