Stable distributions and domains of attraction for unitarily invariant Hermitian random matrix ensembles

Nous considérons des ensembles de matrices aléatoires sur l’ensemble des matrices hermitiennes à queue lourde, pour lesquelles en particulier certains moments n’existent pas, et qui sont invariantes sous l’action conjuguée du groupe unitaire. Cette dernière propriété implique que les vecteurs propres sont distribués selon la mesure de Haar et, par conséquent, se factorisent de la statistique des valeurs propres. Nous prouvons une classification pour les ensembles de matrices stables de ce type de matrices, représentées en termes de matrices, de leurs valeurs propres et de leurs entrées diagonales à l’aide de la classification des distributions stables multivariées et de l’analyse harmonique sur les espaces matriciels symétriques. De plus, nous identifions les conditions nécessaires et suffisantes pour leurs domaines d’attraction. Pour illustrer nos résultats, nous discutons par exemple des ensembles de matrices aléatoires invariantes elliptiques et des ensembles de Pólya, ces derniers jouant un rôle particulier dans les convolutions matricielles. Comme sous-produit, nous généralisons aux distributions tempérées générales le principe de dérivation sur les matrices hermitiennes. Ce principe relie la densité de probabilité conjointe des valeurs propres et les entrées diagonales de la matrice aléatoire.