Multifractal analysis and Erdös–Rényi laws of large numbers for branching random walks in Rd

On revisite l’analyse multifractale des moyennes de marches aléatoires de branchement à valeurs dans Rd en considérant des sous-ensembles de dimension de Hausdorff pleine des ensembles de niveaux standards, sur chaque branche infinie desquels on observe une version quantifiée de la loi des grands nombres d’Erdös–Rényi. En supposant que les moments exponentiels des accroissements des marches sont finis, on peut en effet contrôler simultanément de tels ensembles lorsque les niveaux sont à l’intérieur du domaine convexe compact I des niveaux possibles, c’est-à-dire lorsqu’ils sont associés à des mesures dites de Gibbs, ainsi que lorsqu’ils sont dans le sous-ensemble (∂I)crit de ∂I constitué des niveaux associés aux versions « critiques » de ces mesures de Gibbs ; étant donné un niveau d’un de ces deux types, la loi d’Erdös–Rényi associée dépend de la métrique dont est munie la frontière de l’arbre de Galton–Watson sous-jacent. Pour étendre le contrôle à tous les points limites dans les cas où ∂I≠(∂I)crit, on renforce légèrement l’hypothèse sur la distribution des incréments afin d’exhiber une décomposition naturelle de ∂I∖(∂I)crit en un nombre au plus dénombrable d’ensembles convexes J de dimension affine ≤d−1 sur chacun desquels on peut essentiellement réduire l’étude à celle des points intérieurs et des points critiques associés à une marche aléatoire de branchement à valeurs dans RdimJ.