On the spectrum of random simplicial complexes in thermodynamic regime

Le complexe de Linial–Meshulam est un complexe simplicial aléatoire sur n sommets avec un squelette complet de dimension (d−1) et avec des d-simplices apparaissant indépendamment avec une probabilité p. Le complexe de Linial–Meshulam est l’une des généralisations les plus étudiées du graphe aléatoire d’Erdős–Rényi en dimensions supérieures. Dans cet article, nous étudions le spectre des matrices d’adjacence du complexe de Linial–Meshulam lorsque np→λ∈(0,∞). Nous prouvons l’existence d’une distribution spectrale limite non aléatoire pour les matrices d’adjacence signées et non signées du complexe de Linial–Meshulam. Nous prouvons également que le graphe linéaire du complexe de Linial–Meshulam converge au sens de Benjamini–Schramm vers le graphe de Galton–Watson à d blocs, une version en blocs de l’arbre de Galton–Watson. L’un des principaux résultats de cet article est de prouver que la distribution spectrale limite de la matrice d’adjacence signée est une réflexion de la mesure spectrale d’un graphe de Galton–Watson à d blocs.