Last passage percolation in a product-type random environment

Nous considérons un modèle de percolation de dernier passage en dimension 1+1 avec un potentiel donné par le produit d’un potentiel spatial i.i.d. de loi symétrique et bornée, et d’une suite i.i.d. indépendante de signes dans le temps. Nous supposons que la densité du potentiel spatial, près des bords de son support, se comporte comme une puissance, avec un exposant κ>−1. Nous étudions le taux de croissance linéaire des actions des chemins de marche aléatoire paresseuse optimaux reliant deux points, en fonction de la pente du chemin, et nous décrivons la structure de la fonction de forme résultante. Celle-ci présente un angle en 0 et, bien que sa restriction aux pentes positives ne puisse être linéaire, nous prouvons qu’elle possède une portion plate près de 0 si κ>0. Pour les chemins optimaux reliant un point à une ligne, nous examinons leurs actions et les emplacements des arêtes favorables que les chemins tendent à atteindre et où ils ont tendance à rester. Sous une hypothèse supplémentaire sur le temps nécessaire pour que le chemin optimal atteigne l’emplacement favorable, nous prouvons que les actions normalisées de manière appropriée convergent vers une loi limite qui peut être considérée comme un analogue de la loi de Tracy–Widom. Étant donné que l’exposant d’échelle et la distribution limite dépendent uniquement du paramètre κ, nos résultats fournissent une description d’une nouvelle classe d’universalité.