Thick trace at infinity for the hyperbolic Radial Spanning Tree

Depuis le travail de Howard & Newman (2001), il est connu que pour des arbres radiaux tendus, avec probabilité 1, tous les chemins infinis admettent une direction asymptotique et que, chaque direction asymptotique est atteinte par (au moins) un chemin infini. De plus, il existe un ensemble de directions’exceptionnelles’ atteintes par (au moins) deux chemins infinis qui est aléatoire, dense et seulement dénombrable en dimension 2. La méthode de Howard & Newman ne dit rien au sujet des directions (aléatoires) atteintes par plus de deux chemins infinis et, en particulier, si de telles directions’très exceptionnelles’ existent en dimension 2. On conjecture que la réponse est non pour une grande famille d’arbres aléatoires bidimensionnels et cela n’a été établi que dans un seul cas, celui du Directed Last-Passage Percolation Tree (avec poids exponentiels) dans N2. Dans cet article, nous établissons la conjecture pour le Radial Spanning Tree (RST) hyperbolique : en dimension 2, cet arbre ne contient pas trois chemins infinis ayant la même direction asymptotitque avec probabilité 1. Dit autrement, cela signifie qu’il n’existe pas dans le RST hyperbolique de sous-arbre infini mais fin, i.e. dont tous les chemins infinis auraient la même direction asymptotique. Nous prouvons en fait un résultat plus fort en dimension d+1, d≥1, stipulant que tout sous-arbre infini du RST hyperbolique génère p.s. une trace épaisse à l’infini, i.e. l’ensemble des directions asymptotiques atteintes par ses chemins infinis a un volume positif.