Periodic homogenization for singular Lévy SDEs

Dans le but de comprendre le comportement à long terme d’une diffusion (saut) de Brox avec un drift périodique de bruit blanc, nous généralisons la théorie de l’homogénéisation périodique pour les EDS multidimensionnelles avec un bruit brownien additif et un bruit de Lévy stable pour α∈(1,2) (cf. (Asymptotic Analysis for Periodic Structures (1978) North-Holland Publishing Co., J. Theoret. Probab. 20 (2007) 1087–1100)) au cadre des dérives de Besov périodiques singulières F∈(Cβ(Td))d pour β∈((2−2α)/3,0). Pour la solution martingale périodique de (Bernoulli 28 (2022) 1757–1783), nous prouvons l’existence et l’unicité d’une mesure de probabilité invariante π avec une densité de Lebesgue strictement positive en exploitant la théorie des distributions paracontrôlées et un principe de maximum strict pour l’équation singulière de Fokker–Planck. En outre, nous prouvons une estimation du trou spectral et nous résolvons l’équation de Poisson avec un côté droit singulier. S’il y a un bruit brownien, la diffusion converge dans l’échelle CLT vers un mouvement brownien avec une matrice de diffusion constante. Dans le cas d’un bruit pur α-stable, nous changeons d’échelle dans l’échelle du processus α-stable et montrons la convergence vers le processus stable lui-même. Nous concluons par un résultat d’homogénéisation périodique pour l’EDP parabolique singulière.