Bernstein’s inequalities for general Markov chains

Nous établissons des inégalités de Bernstein pour des fonctions de chaînes de Markov générales (à espace d’états général et possiblement non réversibles). Ces inégalités atteignent des bornes précises pour la variance et englobent l’inégalité classique de Bernstein pour des variables aléatoires indépendantes comme cas particulier. L’analyse principale consiste à borner la norme d’opérateur d’un noyau de transition de Markov perturbé par l’exponentielle de la somme de deux fonctions convexes. L’une correspond à celle qui apparaît dans l’inégalité classique de Bernstein, et l’autre reflète l’influence de la dépendance propre aux chaînes de Markov. Une analyse convexe sur ces deux fonctions permet alors d’établir nos inégalités de Bernstein. Comme applications, nous utilisons ces inégalités pour le problème d’estimation d’intégrale par la méthode de Monte Carlo par chaîne de Markov ainsi que pour l’estimation robuste de la moyenne avec des échantillons dépendants selon une chaîne de Markov, et nous obtenons des bornes de déviation précises que les inégalités précédentes ne permettent pas d’atteindre.