Contribution to the numerical solution of hyperbolic conservation laws with applications in Computational Fluid Dynamics

Οι μέθοδοι υψηλής τάξης ακρίβειας προσφέρουν αυξημένη ακρίβεια στην αριθμητική επίλυση υπερβολικών νόμων διατήρησης, ωστόσο η παρουσία ασυνεχειών μπορεί να οδηγήσει σε μη φυσικές ταλαντώσεις και αριθμητική αστάθεια, καθιστώντας αναγκαία τη χρήση μηχανισμών περιορισμού. Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται την ανάπτυξη και ενσωμάτωση ενός νέου δείκτη προβληματικών υπολογιστικών κελιών (troubled-cell indicator, TCI) για Ασυνεχείς Μεθόδους Galerkin (Discontinuous Galerkin-DG) υψηλής τάξης, και ειδικότερα για το πλαίσιο ADER-DG σε μη δομημένα τριγωνικά πλέγματα. Στις σύγχρονες a posteriori τεχνικές περιορισμού, κεντρικό ρόλο διαδραματίζει ο δείκτης προβληματικών κελιών, ο οποίος αποφασίζει εάν ένα στοιχείο θα διατηρήσει τη μη οριοθετημένη λύση υψηλής τάξης ή θα επανυπολογιστεί με έναν πιο εύρωστο μηχανισμό. Ωστόσο, οι κλασικοί δείκτες TCI βασίζονται συχνά σε ευριστικές εξαρτώμενες από το εκάστοτε πρόβλημα, σε προσαρμόσιμα όρια ή σε γεωμετρικές παραδοχές, γεγονός που μπορεί να περιορίσει την ευρωστία και τη γενίκευση μιας υπολογιστικής μεθόδου. Το πρόβλημα αυτό γίνεται ιδιαίτερα έντονο σε μη δομημένα πλέγματα, όπου το ίδιο τοπικό πρότυπο λύσης μπορεί να εμφανίζεται υπό διαφορετικούς προσανατολισμούς των στοιχείων. Για την αντιμετώπιση αυτών των περιορισμών, στη διατριβή αναπτύσσεται ένας καινοτόμος δείκτης προβληματικών κελιών βασισμένος στη μηχανική μάθηση, ο οποίος επιβάλλει γεωμετρική συμμετρία απευθείας σε επίπεδο αρχιτεκτονικής. Ο προτεινόμενος δείκτης, SCNN-TCI, βασίζεται σε ένα συμμετρικά ενήμερο Siamese Συνελικτικό Νευρωνικό Δίκτυο (SCNN), σχεδιασμένο ώστε να είναι αναλλοίωτο ως προς τις περιστροφές και τις ανακλάσεις του τριγώνου αναφοράς. Με τον τρόπο αυτό διασφαλίζεται, ότι φυσικά ισοδύναμες τοπικές διαμορφώσεις οδηγούν σε συνεπείς αποφάσεις, ανεξάρτητα από τον τοπικό προσανατολισμό του πλέγματος. Ο SCNN-TCI ενσωματώνεται σε έναν επιλυτή ADER-DG στο πλαίσιο ενός a posteriori βρόχου περιορισμού, σε συνδυασμό με συντηρητική διόρθωση ροών μέσω της μεθόδου των mortar στοιχείων και υποκυψελιδικό σχήμα πεπερασμένων όγκων για τα προβληματικά κελιά. Η προσέγγιση αυτή εισάγει πρόσθετη αριθμητική διάχυση μόνο όπου είναι απαραίτητο, διατηρώντας την υψηλή τάξη ακρίβειας στις ομαλές περιοχές. Αριθμητικά πειράματα σε αναλυτικές συναρτήσεις και σε προβλήματα αναφοράς των δισδιάστατων εξισώσεων Burgers και Euler επιβεβαιώνουν την αποτελεσματικότητα, τη σταθερότητα και τη γεωμετρική συνέπεια του προτεινόμενου δείκτη. Συνολικά, η διατριβή εισάγει μια εύρωστη και ερμηνεύσιμη προσέγγιση για την ανίχνευση ασυνεχειών σε μη δομημένα πλέγματα, ενισχύοντας την αξιοπιστία και τη γενίκευση υπολογισμών υψηλής τάξης σε σύνθετα προβλήματα ροών όπως αυτά περιγράφονται από υπερβολικούς νόμους διατήρησης.