Anulamento Duplo de Frobenius para Primos Gêmeos em Curvas Elípticas Não-CM e Proposta de Criptografia por Sincronia de Frobenius (FSC)

Este trabalho investiga o anulamento simultâneo dos traços de Frobenius 𝑎 𝑝 ( 𝐸 ) = 0, 𝑎 𝑝 +2 ( 𝐸 ) = 0 para curvas elípticas 𝐸 /ℚ e primos gêmeos. Extensas computações sugerem que tais coincidências são extremamente raras para curvas sem multiplicação complexa (não-CM) e inexistentes para curvas com CM, devido a obstruções de congruência modular. Formalizou-se esse fenômeno por meio da introdução do conceito de primo gêmeo de aniquilação dupla de Frobenius (par-FD) para uma curva. Experimentos realizados para 𝑝 < 5000 identificaram exatamente um par para uma família simples de curvas não-CM, a saber ( 𝑝 , 𝑝 + 2) = (17,19) para as curvas 𝐸: 𝑦 2 = 𝑥 3 + A(p) 𝑥 + B(p). O trabalho propõe, então, diversas conjecturas sobre a unicidade estrutural, a finitude e a caracterização pela teoria de Hecke dos pares-FD, sugerindo ainda uma nova proposta para o uso desse possível invariante em aplicações criptográficas.