A posteriori Fehlerabschätzungen für elliptische partielle Differentialgleichungen

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der numerischen Lösung elliptischer partieller Differentialgleichungen mithilfe von Tensorprodukt-B-Splines höherer Ordnung. Die Ansatzfunktionen werden auf uniformen Gittern gewählt und lassen sich mit wenig Aufwand hierarchisch erweitern, um adaptive Verfeinerungen zu ermöglichen. Zur Approximation steht die Least-Squares-Kollokation im Mittelpunkt, eine diskrete Variante der Least-Squares-Finite-Elemente-Methode (LSFEM), bei der die Residuen der Differentialgleichung an ausgewählten Kollokationspunkten minimiert werden. Dadurch entfällt die aufwendige Integration über komplexe Gebiete, was die Methode besonders effizient und leicht umzusetzen macht. Der Hauptbeitrag dieser Arbeit liegt in der Konstruktion verlässlicher a posteriori Fehlerschranken für den Approximationsfehler elliptischer Randwertprobleme. Mithilfe des Maximumprinzips werden Schätzer hergeleitet, die den Fehler sowohl global als auch punktweise beurteilen. Diese Fehlerschranken dienen zur gezielten lokalen Verfeinerung des hierarchischen Splineraums. Der resultierende adaptive Algorithmus liefert nicht nur eine glatte Approximation, sondern zugleich die Bestätigung, dass der Fehler an jedem Punkt unter einer vorgegebenen Toleranz bleibt. Zur Effizienzsteigerung werden außerdem neuartige Verfahren zur Fehlerkorrektur bei der Spline-Approximation entwickelt. Es wird gezeigt, wie sich die Konvergenzordnung in der Maximumnorm erhöhen lässt, ohne die Knoten zu verfeinern. Hierzu werden spezielle Quasi-Interpolanten eingeführt, deren Eigenschaften und Approximationsgüte theoretisch untersucht werden. Die Korrektur kann iterativ angewendet werden und führt insbesondere bei uniformen Gittern zu einem deutlich reduzierten Rechenaufwand. Die Genauigkeit und Effizienz der vorgeschlagenen Methoden konnten anhand mehrerer zwei- und dreidimensionaler Beispiele bestätigt werden. Für die numerische Umsetzung wurde eine Schnittstelle zwischen der Open-Source-Bibliothek G+Smo und der Plattform MATLAB entwickelt. Die daraus entstandene kombinierte G+Smo-MATLAB-Umgebung bietet ein flexibles und leistungsfähiges Framework zur Analyse und Simulation adaptiver Verfahren.