Об одном свойстве симплекса, вписанного в шар

Пусть $B_n$ - $n$-мерный единичный шар, задаваемый неравенством $\|x\|\leqslant 1$, где $\|x\|$ - стандартная евклидова норма в ${\mathbb R}^n$. Для невырожденного симплекса $S\subset B_n$ обозначим через $E$ эллипсоид минимального объема, содержащий $S$. Пусть $0\leqslant m\leqslant n-1$, $G$ - произвольная $m$-мерная грань $S$, а $H$ - противоположная $(n-m-1)$-мерная грань. Обозначим через $g$ и $h$ центры тяжести граней $G$ и $H$ соответственно. Определим $y$ как точку пересечения прямой, проходящей из $g$ в $h$, с границей эллипсоида $E$. Будем называть грань $G$ подходящей, если $y\in B_n$. Ранее было установлено, что каждый симплекс $S\subset B_n$ имеет подходящую грань любой размерности $\leqslant n-1$. Мы доказываем следующее утверждение. Пусть симплекс $S$ вписан в шар $B_n$. Если некоторая вершина симплекса является подходящей, то в $S$ существует подходящая грань любой размерности $\leqslant n-1$, содержащая эту вершину. Библиография: 8 названий.