Принцип кольца в задаче о существовании бесконечномерного инвариантного тора

Рассматривается кольцевое множество вида $K=B\times\mathbb{T}^{\infty}$, где $B$ - замкнутый шар банахова пространства $V$, а $\mathbb{T}^{\infty}$ - так называемый стандартный бесконечномерный тор. Этот тор задается равенством $\mathbb{T}^{\infty}=E/2\pi\mathbb{Z}^{\infty}$, где $E$ - бесконечномерное банахово пространство, $\mathbb{Z}^{\infty}$ - абстрактная целочисленная решетка в $E$. Основной результат данной статьи состоит в следующем: для некоторого класса гладких отображений $\Pi\colon K\to K$ устанавливаются достаточные условия существования и устойчивости инвариантного тороидального многообразия вида $A=\{(v,\varphi)\in K\colon v=h(\varphi)\in V, \varphi\in\mathbb{T}^{\infty}\}$, где $h(\varphi)$ - некоторая непрерывная функция аргумента $\varphi\in\mathbb{T}^{\infty}$. Кроме этого, решается ряд сопутствующих вопросов. Во-первых, изучается проблема $C^m$-гладкости многообразия $A$ при любом натуральном $m;$ во-вторых, показывается, что все траектории отображения $\Pi$ с начальными условиями из $K$ стремятся к $A$, допуская асимптотическую фазу; в-третьих, осуществляется перенос полученных результатов на случай полупотоков и последующее применение разработанной теории к интегральным сетям нелинейных осцилляторов. Библиография: 42 названия.