A counterexample to small-time limit theorems for stochastic processes

Стандартная функциональная предельная теорема при малых временах для семимартингалов была получена в 2015 г. в работе Ш. Герхольда и соавторов (Stochastics, 87:5 (2015)), где было доказано, что для широкого класса случайных процессов масштабированный предельный закон при уменьшающемся масштабе времени есть распределение броуновского движения с (возможно, нетривиальной) ковариационной матрицей. В настоящей статье основное внимание уделяется однородным диффузионным процессам, описываемым стохастическими дифференциальными уравнениями Ито. Вместо простой временной нормировки $1/n$, использованной в упомянутой выше работе, мы рассматриваем масштабированные процессы, остановленные в моменты первого выхода из шаров радиуса $n^{-1/2}$, не меняя масштаб времени. Насколько известно автору, такая постановка ранее не рассматривалась в литературе. Мы доказываем, что это нетривиальный пример последовательности процессов, которая сходится в смысле конечномерных распределений на всюду плотном подмножестве интервала $[0,\infty)$, но не является сходящейся в смысле слабой сходимости càdlàg-процессов. Также получена характеризация предельного закона масштабированных процессов, рассматриваемых в соответствующие им моменты первого выхода.