АЛГОРИТМ РОЗВ’ЯЗКУ НЕЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ ПУАССОНА

АЛГОРИТМ РОЗВ'ЯЗКУ НЕЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ ПУАССОНА Анотація.Розв'язування нелінійних рівнянь математичної фізики, зокрема рівнянь еліптичного типу, є одним із ключових напрямів сучасного математичного моделювання, оскільки саме такі рівняння описують широкий спектр стаціонарних процесів у фізиці та техніці: теплопровідність, дифузію, розподіл потенціалу електричного поля, рівноважні стани в системах із зарядженими частинками тощо.Рівняння Пуассона, яке є узагальненням закону Гауса в диференціальній формі, традиційно відіграє центральну роль у цих дослідженнях.У багатьох практичних задачах, зокрема, в моделюванні наносистем із просторово неоднорідним розподілом носіїв заряду лінеаризовані підходи виявляються недостатніми.У таких випадках необхідно враховувати нелінійну залежність густини заряду від електростатичного потенціалу, що приводить до необхідності розв'язування нелінійного рівняння Пуассона, яке є значно складнішим та для більшості випадків не має готових аналітичних розв'язків.У роботі побудовано узагальнений алгоритм розв'язку нелінійного диференціального рівняння Пуассона певного типу з фіксованими граничними умовами.Метод ґрунтується на дослідженні поведінки розв'язку поблизу особливих точок і подальшому використанні побудованих асимптотичних наближень як основи для отримання інтерполяційної формули, що описує розв'язок у всій області зміни змінної.Отримано аналітичний наближений розв'язок, який демонструє фізично коректну поведінку та забезпечує узгодження з можливими чисельними оцінками.Здійснено порівняння з чисельним розв'язком, отриманим методом скінченних різниць.Порівняльний аналіз показав добру відповідність між аналітичними й чисельними результатами, що підтверджує коректність і ефективність запропонованого алгоритму.Представлена методика може бути використана як