Patterns in the Last Two Digits of Powers of Natural Numbers: A Modular Analysis in Base 100

English: This work investigates the patterns formed by the last two digits of powers of natural numbers, considering separately the even numbers (00 to 98) and the odd numbers (01 to 99). For each base, powers from 2 up to 22 were calculated, recording only the last two digits through a simple spreadsheet formula. The analysis shows that the results are not random: they organize into finite and recurring sets, depending on the parity of the base and the nature of the exponent (even, odd, multiple of 4, multiple of 5, etc.). These cycles demonstrate that modular arithmetic in base 100 has deep regularities, allowing us to predict which residues appear in each case. The study provides complete tables that highlight how the last two digits of powers follow well-defined and repetitive patterns. To find the last two digits of A x A, we only multiply the last two digits of A, because the others only affect the third digit and beyond. Since the last two digits of A and B are the same, the results of A x A and B x B will also have the same last two digits. Repeating this process k times, A raised to the power of k and B raised to the power of k will maintain this equality in their last two digits. Portuguese: Este trabalho investiga os padrões formados pelos dois últimos dígitos das potências de números naturais, considerando separadamente os pares (00 a 98) e os ímpares (01 a 99). Para cada base, foram calculadas as potências de 2 até 22, registrando apenas os dois últimos dígitos por meio de uma construção algébrica simples em planilha. A análise revela que os resultados não são aleatórios: eles se organizam em conjuntos finitos e recorrentes, dependendo da paridade da base e da natureza do expoente (par, ímpar, múltiplo de 4, múltiplo de 5, etc.). Esses ciclos mostram que a aritmética modular em base 100 possui regularidades profundas, permitindo prever quais resíduos surgem em cada caso. O estudo fornece tabelas completas que evidenciam como os últimos dois dígitos das potências seguem padrões bem definidos e repetitivos. Para descobrir os dois últimos dígitos de A x A, multiplicamos apenas os dois últimos dígitos de A, pois os outros só afetam da terceira casa para a frente. Como os dois últimos dígitos de A e B são iguais, os resultados de A x A e B x B também terão os dois últimos dígitos iguais. Repetindo esse processo k vezes, A elevado a k e B elevado a k manterão essa igualdade nos dois últimos dígitos.