Elementary Proof of the Impossibility of the Equation n# + B = B^k for More Than 70% of the Possible Values of B — where n, k and B are natural numbers, n >= 5, B > 0 and k > 1

English: This work presents a completely elementary demonstration showing the impossibility of the equality n#+B=B^k (k>1, n>=5), for a vast number of values of B. The proof uses only basic arithmetic reasoning, always focusing on the last two digits of the numbers involved. The method follows the principle of direct exclusion, eliminating each value of B whose last two digits make the equality impossible. The study establishes three central points: Fixed form of the last two digits of n#It is shown that when n#=10⋅y and y is a product of odd numbers that are not multiples of 5, the last two digits of n# always belong to a small set of only four values. Expansion of the Exclusion SetThe work defines an Exclusion Set formed by the possible last two digits of BIn this expanded version, the set is no longer limited to odd numbers:a large collection of even numbers is also included, significantly increasing the scope of the result. Comparison with the cyclic patterns of powersWith the help of an extremely simple external table (accessible by link and easy to reconstruct manually), it is observed that the last two digits of B^k are limited to at most 20 possibilities.For all values in the Exclusion Set, none of these possibilities matches the last two digits of n#+B.Thus, the equality is immediately ruled out. Note: It should be noted that approaches based on orders of magnitude are inconclusive in this context. Since n, B, and k can vary independently, there is no asymptotic restriction preventing equality; the obstruction to the existence of solutions is of a purely arithmetic nature. Portuguese: Este trabalho apresenta uma demonstração completamente elementar que mostra a impossibilidade da igualdade n#+B=B^k (k>1, n>=5), para uma imensa quantidade de valores de B. A prova utiliza apenas raciocínios aritméticos básicos, sempre observando os dois últimos dígitos dos números envolvidos. O método segue o princípio de exclusão direta, eliminando caso a caso todos os valores de B cujo valor dos dois últimos dígitos torna a igualdade impossível. O estudo estabelece três pontos centrais: Forma fixa dos dois últimos dígitos de n#Mostra-se que, quando n#=10⋅y e y é o produto de números ímpares não múltiplos de 5, os dois últimos dígitos de n# pertencem sempre a um pequeno conjunto de apenas quatro valores. Ampliação do Conjunto de ExclusãoO trabalho define um Conjunto de Exclusão formado pelos possíveis dois últimos dígitos de B.Nesta versão ampliada, o conjunto deixa de envolver apenas números ímpares:uma grande coleção de números pares também é incorporada, aumentando de forma significativa o alcance do resultado. Comparação com os padrões cíclicos das potênciasCom o auxílio de uma tabela externa extremamente simples (acessível por link e fácil de reconstruir manualmente), observa-se que os dois últimos dígitos de B^k estão limitados a no máximo 20 possibilidades.Para todos os valores do Conjunto de Exclusão, verifica-se que nenhuma dessas possibilidades coincide com os dois últimos dígitos de n#+B.Assim, a igualdade é descartada imediatamente. Nota: Nota-se que abordagens baseadas em ordens de magnitude são inconclusivas neste contexto. Visto que n, B e k podem variar independentemente, não há uma restrição assintótica que impeça a igualdade; a obstrução à existência de soluções é de natureza puramente aritmética