Non-existence of Information-Geometric Fermat Structures: Violation of Dual Lattice Consistency in Statistical Manifolds with Ln Structure(情報幾何学的フェルマー構造の非存在: Ln 構造を持つ統計多様 体における双対格子整合性の破れ)

本論文では、フェルマーの最終定理に対し、数論的な問題を情報幾何学的な構造の埋め込み問題として再定式化する新たな枠組みを提案する。従来の数論的アプローチとは異なり、本手法はフェルマー方程式を統計多様体上の幾何学的構造問題へと翻訳し、大域的な解析学的整合性を用いてその非自明な構造の非存在を示すものである。 まず、フェルマー方程式の代数的構造を確率変数の$n$次モーメント制約として再解釈し、最大エントロピー原理(Jaynes' Principle)を用いて、$n$ 次モーメント制約を持つ一般化正規分布族からなる統計多様体 $\mathcal{M}_n$ を構成する。この空間はチェンソフの定理とその拡張(Amari 1985)により、この多様体上の自然な計量はフィッシャー情報計量(リーマン計量)として一意に決定されるが、その大域的な距離構造は $n$ 次モーメント制約に由来する $L^n$ モーメント構造に支配されることが明らかになる。ここに局所的な2次形式の計量 ($L^2$) と大域的な$n$次形式のモーメント制約による構造 ($L^n$) の幾何学的乖離が生じることが明らかになる。 次に、数論におけるモジュラー性(変換不変性)の概念を情報幾何学的に翻訳し、「情報幾何学的フェルマー解」 を公理的に定義する。この定義は、解に対応する格子構造が、ルジャンドル変換(主・双対変換)に対して整合性を保つこと(双対格子性)を要請するものである。 本研究の主結果は、この定義に基づく構造の非存在証明である。ポアソン和公式とHausdorff-Youngの不等式を用いた解析により、$n \ge 3$ の空間においては、フーリエ変換による関数族の変質($L^n \to L^q$、ここで $1/n + 1/q = 1$)が生じ、定義が要請する「双対格子整合性」を満たすことが解析的に不可能であることを示す。これは、双対平坦空間において整数構造とエネルギー構造が両立しないという幾何学的障害を意味する。 最後に、本モデルと実際の数論的対象、楕円曲線との対応関係について触れ、本幾何学的モデルがフェルマーの最終定理の数理構造を忠実に反映している可能性について議論する。注記:本論文で提案された幾何学的障害に対する厳密な数論的基礎付け、とりわけ局所ゼータ積分やテイトの論文との関連については、続編となる論文『第II部:テイトの論文による双対格子整合性の数論的起源』において詳述されている。