Non-Existence of Information-Geometric Fermat Structures II: The Number-Theoretic Origin of Dual Lattice Consistency via Tate's Thesis(情報幾何学的フェルマー構造の非存在 II: テイトの論文による双対格子整合性の数論的起源)

先行研究(Tochigi, K. (2026))において、フェルマーの最終定理に対する情報幾何学的枠組みを提案し、統計多様体が持つリーマン計量構造($L^2$)とモーメント構造($L^n$)の間の幾何学的不整合が、整数解の存在を阻害することを示した。本論文では、この幾何学的障害を解析的整数論、特にテイトの論文の枠組みを用いて厳密に再定式化する。先行研究で構成した統計多様体 $\mathcal{M}_n$ を、フェルマー曲線に対応する代数体の無限素点(アルキメデス素点)における局所空間として同定し、そこで定義された最大エントロピー分布を局所的なシュワルツ・ブリュア関数(テスト関数)と解釈する。その上で、先行研究において公理的に要請された双対格子整合性が、数学的にはL関数の局所関数等式の成立要件と等価であることを証明する。結論として、$n \ge 3$ において $L^n$ 計量構造から導かれるガンマ因子 $\Gamma(s/n)$ が、大域的なモジュラー性(保型性)が必要とする対称性を満たさないことを示し、解の非存在に対する数論的基礎付けを与える。 先行研究については、https://doi.org/10.5281/zenodo.18129956を参照のこと In a previous study (Tochigi, K., 2026), we proposed an information-geometric framework for Fermat's Last Theorem, demonstrating that the existence of integer solutions is obstructed by a geometric discrepancy between the Riemannian metric structure ($L^2$) and the moment structure ($L^n$) of the underlying statistical manifold. In this paper, we rigorously reformulate this geometric obstruction within the framework of Analytic Number Theory, specifically employing Tate's thesis. We identify the statistical manifold $\mathcal{M}_n$, constructed in the previous study, as the local space at the infinite place (Archimedean place) of the algebraic number field corresponding to the Fermat curve, and interpret the defined maximum entropy distribution as the local Schwartz-Bruhat function (test function). Furthermore, we prove that the "Dual Lattice Consistency" axiomatically postulated in the previous geometric model is mathematically equivalent to the requirement for the local functional equation of the L-function. Consequently, we demonstrate that for $n \ge 3$, the Gamma factor $\Gamma(s/n)$ derived from the $L^n$ metric structure fails to satisfy the symmetry required for global modularity (automorphy), thereby providing a number-theoretic foundation for the non-existence of solutions. For the previous study, please refer to https://doi.org/10.5281/zenodo.18129956.