Une fonction zêta pour l'Algèbre de Composition Géométrique

Ce travail introduit une fonction de type zêta associée à l’Algèbre de Composition Géométrique (GCA), fondée sur le comptage de configurations géométriques dites primitives.Contrairement aux approches classiques en théorie des partitions, la notion de primitivité — définie par irréductibilité de mise à l’échelle — impose une contrainte multiplicative forte à des objets de nature additive. Le premier résultat central est l’établissement rigoureux d’une loi d’héritage exacte reliant configurations totales et configurations primitives. Cette loi, démontrée par une bijection explicite, révèle l’émergence naturelle de la divisibilité au sein d’un cadre purement géométrique et combinatoire, ouvrant la voie à une inversion de type Möbius. Sur le plan quantitatif, une analyse numérique extensive montre que le nombre de configurations primitives croît selon une loi polynomiale, en rupture radicale avec la croissance exponentielle des partitions classiques. Cette transition de régime met en évidence l’impact structurel profond de la contrainte de primitivité. À partir de ces fondations, une fonction zêta GCA est définie et reliée de manière exacte à la fonction zêta de Riemann, jouant le rôle d’un opérateur de décomposition multiplicative des configurations. Cette construction ne repose sur aucun produit eulérien standard, ce qui la distingue fondamentalement des fonctions zêta arithmétiques usuelles. Un résultat particulièrement original est la mise en évidence numérique robuste d’un zéro complexe stable : s = 2.9 + 8.65 i , qui est interprété comme une signature spectrale intrinsèque du système. Ce zéro induit des oscillations mesurables dans la distribution des configurations primitives, suggérant une lecture fréquentielle du phénomène de comptage. L’ensemble de ces résultats établit un pont inédit entre géométrie combinatoire, structures multiplicatives et analyse spectrale. Les perspectives incluent le prolongement analytique complet de la fonction zêta GCA, l’étude systématique de ses zéros, ainsi que des extensions vers des configurations de dimension supérieure et des applications potentielles à la compréhension des structures arithmétiques fondamentales.