Formule d'anomalie métrique pour la torsion analytique pondérée en présence de connexions logarithmiques

Cet article établit une formule d'anomalie métrique pour une torsion analytique pondérée associée à des complexes elliptiques définis sur des familles kählériennes compactes munies de connexions logarithmiques le long d'un diviseur lisse. Contribution principale : Nous introduisons une condition structurelle précise, appelée la "Condition de Compatibilité de Ramification" (CCR), qui garantit la bornitude de la courbure effective $\Omega_{\mathrm{eff}} := (\nabla + T)^2$ malgré la présence de singularités logarithmiques. Sous cette hypothèse, nous démontrons rigoureusement l'existence du développement asymptotique du noyau de la chaleur et établissons la formule d'anomalie métrique : $$\frac{d}{dt}\log \tau_N = \int_{\mathcal{X}/S} d\,\mathrm{CS}_N$$ où $\mathrm{CS}_N$ est la forme de Chern--Simons associée au caractère de Chern pondéré $\mathrm{ch}_N$. Cadre géométrique : - Fibration holomorphe $\pi: \mathcal{X} \to S$ avec fibres kählériennes compactes- Diviseur lisse à croisements normaux $R \subset \mathcal{X}$- Connexions logarithmiques de la forme $\nabla = d + A(w)\frac{dz}{z} + B(z,w)$ au voisinage de $R$- Torsion analytique pondérée définie par $\log \tau_N := -\frac{1}{2} \sum_q (-1)^q \frac{d}{ds}\big|_{s=0} \mathrm{Tr}(N \, \Delta_q^{-s})$ Méthodes : - Introduction d'un opérateur correctif $T$ assurant la bornitude de $\Omega_{\mathrm{eff}}$- Utilisation de la superconnexion de Quillen $\mathbb{A}_u = u^{1/2}D + \nabla^E + u^{-1/2}T$- Adaptation de la méthode de rescaling de Getzler au cadre logarithmique- Construction de parametrix de type Seeley avec estimations uniformes Résultats : Ce travail généralise les formules classiques de Quillen et de Bismut--Gillet--Soulé au cadre logarithmique, ouvrant la voie à des applications en géométrie arithmétique et en théorie des familles de variétés avec singularités. Exemples explicites : - Modèle local $f(z) = z^k$ avec connexion logarithmique- Familles à monodromie unipotente