Analyse Sommatielle : Théorie unifiée de la sommation et de l'intégration

Résumé (version 02) Ce travail introduit l’Analyse Sommatielle, un cadre analytique unifiant la sommation discrète et l’intégration continue. Il propose une méthode systématique pour l’évaluation exacte de séries infinies, convergentes ou divergentes, au-delà des techniques classiques de régularisation. Deux opérateurs fondamentaux, le Sommatiel et l’Hypersommatiel, sont développés à travers des représentations discrètes, intégrales réelles et complexes. Ils permettent notamment l’évaluation analytique fermée de séries impliquant des fonctions spéciales, telles que les fonctions de Bessel J_n, les intégrales sinus et cosinus \mathrm{Si}, \mathrm{Ci}, ainsi que les fonctions zêta, et conduisent à un prolongement analytique universel fondé sur une structure cyclique. Le formalisme obtenu inclut une généralisation rigoureuse de la formule d’Euler–Maclaurin et fournit une description intrinsèque des écarts asymptotiques entre sommes discrètes et comportements continus. Cette Version 2 corrige les imprécisions analytiques de la version initiale ; les résultats principaux ont été redérivés de manière rigoureuse, certaines démonstrations techniques étant renvoyées aux références. Les formules finales sont désormais exactes.