Rigidez geométrico–dinámica del billar plano mediante un observable explícito

Se introduce un observable geométrico–dinámico explícito para el billar plano estrictamente convexo, denomin6ado OSJ, que cuantifica el crecimiento transversal acumulado del campo de Jacobi a lo largo de órbitas del billar. Se demuestra que la anulación asintótica de dicho observable es una condición dinámica necesaria para la integrabilidad global en el sentido de Birkhoff. Bajo hipótesis estándar de convexidad estricta y regularidad C^2 del borde, se prueba que dicha condición impone una ecuación diferencial rígida para el radio de curvatura del dominio, cuya única solución cerrada, convexa y no degenerada corresponde a la elipse. Como consecuencia, la integrabilidad global del billar plano se reduce a una condición dinámica explícita verificable, que selecciona de manera única al dominio elíptico. El enfoque proporciona además un criterio geométrico–dinámico de inestabilidad direccional que explica la ruptura de la integrabilidad bajo perturbaciones geométricas no triviales del dominio, y propone un marco general para el estudio de problemas de rigidez en sistemas hamiltonianos con reflexión.