Prolongement Analytique des Séries Intégrales Trigonométriques

Cet article développe un cadre unifié pour les séries intégrales trigonométriques de type \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{Ci}(ns)}{n^{2k}} \quad \text{et} \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{Si}(ns)}{n^{2k+1}}\] dans le cadre de l’Analyse Sommatielle fondée par Pathy Kyungu. Le travail met en évidence une dualité structurelle entre noyaux de Bernoulli et structures de type Clausen, révélant un prolongement analytique universel valable pour tout paramètre réel s>0 et pour tous les cycles périodiques. Contrairement aux méthodes classiques fondées sur les séries de Fourier ou la sommation de Poisson, l’approche sommatielle ne repose pas sur une décomposition harmonique, mais sur un opérateur sommatoire structural permettant de capter directement le contenu arithmétique profond des séries. Les noyaux de Bernoulli produisent des corrections logarithmiques et des multiples rationnels de puissances de \pi, tandis que la structure de type Clausen relie les valeurs paires et impaires de la fonction zêta à travers des quanta transcendants. Les formules sont présentées ici sous forme analytique fermée ; les démonstrations détaillées figurent dans les travaux fondateurs de l’Analyse Sommatielle ainsi que dans les publications consacrées aux formules de Kyungu.