Threshold Law and Hexagonal Vacuum Geometry: Application of the PR-TAU 5.2.3 Formalism to the TRAPPIST-1 System / Loi du Seuil et Géométrie Hexagonale du Vide : Application du Formalisme PR-TAU 5.2.3 au Système TRAPPIST-1

This manuscript finalizes the PR-TAU 5.2.3 formalism by introducing the Primary Resonance Threshold Law. We demonstrate that the first stable orbit of a system is determined by the equilibrium between the intrinsic vacuum rigidity ϵ ≈ 0.056366 and the central mass. Analysis of the TRAPPIST-1 system reveals harmonic locking on the separation quantum k = 6, corresponding to the hexagonal symmetry of the QRD lattice. These results allow for the establishment of predictive mapping of habitability zones, defined as metric silence nodes where molecular stability is maximized by vacuum geometry. Ce manuscrit finalise le formalisme PR-TAU 5.2.3 en introduisant la Loi du Seuil de Résonance Primaire. Nous démontrons que la première orbite stable d’un système est déterminée par l’équilibre entre la rigidité intrinsèque du vide ϵ ≈ 0, 056366 et la masse centrale. L’analyse du système TRAPPIST-1 révèle un verrouillage harmonique sur le quantum de séparation k = 6, correspondant à la symétrie hexagonale du réseau QRD. Ces résultats permettent d’établir une cartographie prédictive des zones d’habitabilité, définies comme des nœuds de silence métrique où la stabilité moléculaire est maximisée par la géométrie du vide.