Una identidad trigonométrica para la excentricidad orbital: cos(2γ) = −e derivada de un triángulo rectángulo inscrito en un semicírculo

Resumen Presentamos una identidad trigonométrica exacta para órbitas elípticas keplerianas: definimos el ángulo γ mediante tan(γ) = √((1 + e)/(1 − e)); entonces cos(2γ) = −e. La relación surge de forma natural de la geometría euclidiana. Se inscribe un triángulo rectángulo en un semicírculo con el diámetro como hipotenusa (el teorema de Thales garantiza un ángulo recto en el vértice del arco). La tangente del ángulo en la base es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente. Por el teorema de la media geométrica (altura relativa a la hipotenusa), esta razón adopta la forma de raíz cuadrada tan(γ) = √(ra / rp). Al identificar ra y rp con las distancias al apoastro y periastro se obtiene la expresión orbital. La fórmula del ángulo doble produce entonces cos(2γ) = −e algebraicamente. La identidad es válida para todo 0 ≤ e < 1 y se verifica numéricamente en cuerpos del Sistema Solar y exoplanetas (NASA Exoplanet Archive). Ofrece una parametrización angular de la excentricidad fundamentada geométricamente, útil para análisis orbital y estudios de poblaciones.