Математический аппарат ЗЕБТС: нелокальная статистика и обобщённая термодинамика

В ЗЕБТС фундаментальной наблюдаемой является нелокальная корреляционная функция метрических возмущений: Gμνρσ(x,y) = ⟨gμν(x) gρσ(y)⟩ − ⟨gμν(x)⟩ ⟨gρσ(y)⟩, где gμν(x) — компонент метрического тензора в точке x, а угловые скобки ⟨⋅⟩ обозначают усреднение по топологическим конфигурациям. Топологическое усреднение Усреднение проводится по ансамблю спиновых сетей S: ⟨O⟩ = (1/Z) ∑S O[S] e^(−β A[S]), где O[S] — значение наблюдаемой на конфигурации S;A[S] — топологическое действие;Z = ∑S e^(−β A[S]) — статистическая сумма;β — параметр, связанный с топологической «температурой». Иерархия корреляционных функций 2‑точечная функция: Gμνρσ(x,y) = ⟨gμν(x) gρσ(y)⟩conn. 3‑точечная функция: Gμνρσλκ(x,y,z) = ⟨gμν(x) gρσ(y) gλκ(z)⟩conn. Общая n‑точечная функция: G(1,…,n) = ⟨g(1) g(2) … g(n)⟩conn, где индекс conn означает связную часть коррелятора. Уравнение для корреляторов Динамика Gμνρσ(x,y;t) описывается интегро‑дифференциальным уравнением вида: ∂Gμνρσ(x,y;t)/dt = Lμνρσ[ G(x,y;t) ] + ∫ Kμνρσ(x,y;x′,y′) G(x′,y′;t) dx′ dy′, где L — локальный оператор (например, дифференциальный по координатам),K — ядро нелокальных взаимодействий, задающее вклад от топологических связей. Обобщённая термодинамика топологических систем Топологическая энтропия Топологическая энтропия определяется как: Sтоп = − ∑S p(S) ln p(S), где p(S) = e^(−β A[S]) / Z. Свойства:Sтоп ≥ 0;Sтоп возрастает при увеличении числа топологических дефектов и сложности сети;в пределе β → 0: Sтоп → kB ln|S|, где |S| — число доступных конфигураций. Обобщённое первое начало Обобщённое первое начало для топологической системы: dEтоп = δWтоп + δT, где Eтоп = ⟨A⟩ — топологическая энергия (среднее действие),δWтоп — работа по изменению топологии (перестройка узлов и связей),δT — вклад от нелокальных корреляций (аналог «теплоты» в обычной термодинамике). Эффективная температура определяется как: Tэфф = (∂Eтоп/∂Sтоп) при фиксированных других параметрах.