Gamma (γ) otro ángulo invariante oculto en la espiral logarítmica: surge del desfase de 180° entre radios opuestos

Presentamos que el ángulo γ definido por tan(γ) = √[r(θ + π) / r(θ)] es un ángulo oculto e invariante en la espiral logarítmica r(θ) = a e^{bθ}. La relación surge al considerar el desfase de 180° (π radianes) entre dos radios opuestos: la razón de radios desfasados es e^{bπ}, y su raíz cuadrada es e^{(bπ)/2} = tan(γ). Despejando se obtiene b = (2/π) ln(tan(γ)). Esta identidad es completamente general y válida para cualquier γ ∈ (0° , 90°). γ es intrínseco en la estructura de la espiral y le da la propiedad de invarianza, al igual que el ángulo α clásico (tan(α) = b) entre radio vector y tangente: ambos codifican la misma constante de crecimiento b, pero desde perspectivas distintas (desfase radial global vs. tangencial local). γ puede tomar cualquier valor real positivo (de 0 a +∞), y la espiral cambia de sentido (crecimiento vs. decrecimiento) sin necesidad de cambiar el signo en el exponente b —solo variando γ en (0° , 90°). La derivación se basa en propiedades geométricas básicas y se verifica numéricamente para diferentes valores de γ.