SOUS-ENSEMBLES et CONSTELLATIONS ARITHMETIQUES de NOMBRES PREMIERS

Depuis la conjecture de Polignac [1] énoncée en 1849, de très nombreux travaux sur les nombres premiers, les couples de premiers distants d'un entier pair et les constellations de premiers ont été publiés assez régulièrement au fil des ans ([2], [3], [4], [5], [6], [7], ...).Pour un quelconque e pair supérieur ou égal à 2, on considère les ensembles Ce de tous les couples de premiers (p, p+e), non nécessairement consécutifs. Dans l'ensemble P des nombres premiers, on considère les sous-ensembles Je constitués de tous les premiers distincts appartenant à Ce.On définit les ensembles analogues C*e et J*e constitués uniquement à partir de tous les couples de premiers (p, p+e) consécutifs.Le cas e=2 définit les premiers jumeaux, e=4 les premiers cousins, e=6 les premiers sexy, e=8 les premiers octo, ...L'arithmétique modulaire dans N/6N nous permettra d'établir deux théorèmes concernant Ce et C*e et exprimant une nouvelle propriété générale de ces couples. Nous donnerons aussi quelques résultats numériques sur les raretés des Je et J*e en utilisant le logiciel de calcul PARI/GP.Nous établirons enfin un théorème pour les constellations de nombres premiers de type k-uplet, à écart constant où nous mettrons en évidence le rôle essentiel des écarts de type primorielle, e = p# (avec p# = 2*3*5*7*...*p). Ce résultat est l'extension assez naturelle, pour k > 3, des deux premiers théorèmes qui font intervenir la plus petite primorielle supérieure à 2, 3# = 6.Nous exprimerons ainsi des propriétés constructives simples qui déterminent explicitement les possibles raisons des suites arithmétiques de nombres premiers de longueur k > 2, dont l'existence est assurée par le théorème de Green-Tao ([5]).Les raisons qui conduisent, pour un k donné, à plusieurs suites sont uniquement des primorielles strictement supérieures ou égales à 3# ou leurs multiples et pour k > 3 toutes les raisons sont exclusivement des multiples de 6.