Spectral Mean Flow and Variance Dynamics of Completely Monotone Functions

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[English]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━We study functions representable as finite positive mixtures of exponential modes, F(t) = Σ aₖ exp(−λₖt), and their associated effective rate r(t) = −F′(t)/F(t). We prove three exact results: a universal variance identity r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0; a bi-exponential Riccati closure r′(t) = −(r−p)(q−r) which characterizes observables of the form Ae^{−pt} + Be^{−qt}; and a cumulant hierarchy r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t). The Riccati dynamics is the projective image of a simple exponential flow in a hidden coordinate z(t). This provides a dynamical interpretation of hazard-rate evolution in exponential mixtures. ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[Français]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Nous étudions les fonctions représentables comme mélanges positifs finis de modes exponentiels et le taux effectif associé r(t) = −F′(t)/F(t). Nous établissons trois résultats exacts : une identité de variance universelle r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0 ; une fermeture de Riccati bi-exponentielle r′(t) = −(r−p)(q−r) caractérisant les observables de la forme Ae^{−pt} + Be^{−qt} ; et une hiérarchie de cumulants r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t). La dynamique de Riccati est l'image projective d'un flot exponentiel simple dans une coordonnée cachée z(t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[Español]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Estudiamos funciones representables como mezclas positivas finitas de modos exponenciales y la tasa efectiva asociada r(t) = −F′(t)/F(t). Establecemos tres resultados exactos: una identidad de varianza universal r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0; un cierre de Riccati bi-exponencial r′(t) = −(r−p)(q−r) que caracteriza los observables de la forma Ae^{−pt} + Be^{−qt}; y una jerarquía de cumulantes r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t). La dinámica de Riccati es la imagen proyectiva de un flujo exponencial simple en una coordenada oculta z(t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[Deutsch]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Wir untersuchen Funktionen, die als endliche positive Mischungen exponentieller Moden darstellbar sind, und die zugehörige effektive Rate r(t) = −F′(t)/F(t). Wir beweisen drei exakte Resultate: eine universelle Varianzidentität r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0; einen bi-exponentiellen Riccati-Abschluss r′(t) = −(r−p)(q−r), der Observablen der Form Ae^{−pt} + Be^{−qt} charakterisiert; und eine Kumulantenhierarchie r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t). Die Riccati-Dynamik ist das projektive Bild eines einfachen Exponentialflusses in einer verborgenen Koordinate z(t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[Português]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Estudamos funções representáveis como misturas positivas finitas de modos exponenciais e a taxa efetiva associada r(t) = −F′(t)/F(t). Provamos três resultados exatos: uma identidade de variância universal r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0; um fechamento de Riccati bi-exponencial r′(t) = −(r−p)(q−r) que caracteriza observáveis da forma Ae^{−pt} + Be^{−qt}; e uma hierarquia de cumulantes r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t). A dinâmica de Riccati é a imagem projetiva de um fluxo exponencial simples numa coordenada oculta z(t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[Italiano]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Studiamo funzioni rappresentabili come miscele positive finite di modi esponenziali e il tasso effettivo associato r(t) = −F′(t)/F(t). Dimostriamo tre risultati esatti: un'identità di varianza universale r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0; una chiusura di Riccati bi-esponenziale r′(t) = −(r−p)(q−r) che caratterizza gli osservabili della forma Ae^{−pt} + Be^{−qt}; e una gerarchia di cumulanti r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t). La dinamica di Riccati è l'immagine proiettiva di un semplice flusso esponenziale in una coordinata nascosta z(t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[中文 — Chinese]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━我们研究可表示为有限正指数模式混合的函数 F(t) = Σ aₖ exp(−λₖt) 及其有效速率 r(t) = −F′(t)/F(t)。我们证明三个精确结果:普适方差恒等式 r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0;双指数Riccati闭合方程 r′(t) = −(r−p)(q−r),刻画形如 Ae^{−pt} + Be^{−qt} 的观测量;以及累积量层次结构 r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t)。Riccati动力学是隐坐标 z(t) 中简单指数流的射影像。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[日本語 — Japanese]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━指数モードの有限正混合として表現可能な関数 F(t) = Σ aₖ exp(−λₖt) と有効レート r(t) = −F′(t)/F(t) を研究する。三つの厳密な結果を証明する:普遍的分散恒等式 r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0;二指数リッカチ閉包 r′(t) = −(r−p)(q−r)(Ae^{−pt} + Be^{−qt} 型の観測量を特徴づける);累積量階層 r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t)。リッカチ力学は隠れ座標 z(t) における単純な指数流の射影像である。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[Русский — Russian]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━Мы изучаем функции, представимые как конечные положительные смеси экспоненциальных мод, и связанную эффективную скорость r(t) = −F′(t)/F(t). Доказываются три точных результата: универсальное тождество дисперсии r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0; би-экспоненциальное замыкание Риккати r′(t) = −(r−p)(q−r), характеризующее наблюдаемые вида Ae^{−pt} + Be^{−qt}; и иерархия кумулянтов r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t). Динамика Риккати является проективным образом простого экспоненциального потока в скрытой координате z(t). ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━[العربية — Arabic]━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ندرس الدوال القابلة للتمثيل كمزيج موجب منتهٍ من الأنماط الأسية، والمعدل الفعلي المرتبط بها r(t) = −F′(t)/F(t). نثبت ثلاثة نتائج دقيقة: هوية التباين العالمية r′(t) = −Varₜ(λ) ≤ 0؛ والإغلاق الريكاتي ثنائي الأسي r′(t) = −(r−p)(q−r) الذي يُميّز المشاهدات من الشكل Ae^{−pt} + Be^{−qt}؛ وتسلسل هرمي للمجموعات r^(n)(t) = (−1)ⁿ κₙ₊₁(t). ديناميكيات ريكاتي هي الصورة الإسقاطية لتدفق أسي بسيط في إحداثي مخفي z(t).