NOMBRES PREMIERS A PEU DE CHIFFRES NON NULS

Il existe une volumineuse littérature sur les nombres premiers ([OEIS2], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], ...), briques essentielles de la théorie des nombres, et peut-être, directement ou indirectement, de toutes les mathématiques.En restant en base décimale, nous proposons ici, à partir de nombreuses expérimentations numériques, des réflexions sur des nombres premiers à très peu de chiffres non nuls, et donc possiblement de nombreux zéros: les premiers à seulement 2 ou 3 chiffres non nuls et un certain nombre de zéros.On poursuit l'étude de certaines classes de nombres premiers particuliers entamée dans [19] (qui concernait quelques premiers à un seul chiffre plus grand que 1), en s'intéressant essentiellement à l'ensemble des nombres premiers ne possédant que trois chiffres non nuls dont deux 1 et au moins un zéro (comme par exemple, 81001, 160001, 1100009 ou 30000010000001). Le seul chiffre différent de 0 et 1, noté C, pourra appartenir à {2,3,5,6,8,9} (4 et 7 conduiraient à des entiers divisibles par 3).Les trois sous-classes de nombres pouvant contenir de tels premiers sont notées C[0]1[0]1, 1[0]C[0]1 et 1[0]1[0]C, [0] représentant une suite de z zéros, z >= 0; elles sont constituées de, respectivement, C*10m + 10k + 1, 10m + C*10k + 1, 10m + 10k + C, pour des m et k vérifiant m > 1, 0 < k < m.Les deux premières sous-classes font intervenir des C décrivant {2,3,5,6,8,9}, la troisième ne peut contenir que des C dans {3,9} (sinon les entiers obtenus seraient tous pairs ou divisibles par 5).Comme exemple de premier avec au moins un zéro pour chacune des 3 sous-classes citons respectivement 81000001, 1006000001, 10000100003.On donnera une méthode pour trouver des premiers de ces trois types et on en exhibera jusqu'à des longueurs de plus de 2000 chiffres. On fournira les suites de tous les nombres premiers des trois sous-classes précédentes pour m = 2 à 30.Enfin à travers quelques exemples, on génèrera des premiers, non plus avec (C, 1, 1) mais avec des nombres à 3 chiffres non nuls quelconques notés CDE.Ainsi à partir de nombres à trois chiffres non nuls (premiers ou certains composés), nous construisons des familles infinies de premiers possédant les mêmes trois chiffres non nuls dans le même ordre et des zéros intermédiaires (en nombre croissant avec la taille de ces premiers).Cette étude, pour le moment purement descriptive, des premiers exprimés (en base décimale) avec au moins un zéro, permet de conjecturer que dans un intervalle [2, 10^M], pour M suffisamment grand, il y a très probablement plus de ces premiers que des premiers constitués uniquement de chiffres non nuls.Une simulation en ligne pour les quatre classes C11, 1C1, 11C, CDE est proposée.