NOMBRES DE NIVEN-HARSHAD EGAUX A UNE PUISSANCE DE LA SOMME DE LEURS CHIFFRES

Les nombres de Niven (ou nombres Harshad ou nombres multinumériques) sont tous les nombres divisibles par la somme de leurs chiffres dans une base donnée; ils sont faciles à exhiber ([OEI1]).Définis dans les années 1970, ces nombres ont depuis été régulièrement étudiés par plusieurs auteurs ([1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], 12], [13], [14], [15], [16], [17], [19], [20]).Nous envisageons ici, en base 10, spécifiquement les nombres de Niven n égaux à une puissance entière positive m de la somme S de leurs chiffres: n = Sm, m > 0.Les cas pour m de 1 à 6 sont classiques et traités dans ([20], [OEI6]), ceux de 3 à 5 étant répertoriés dans OEIS ([OEI5]), mais rien ne concerne, à ce jour, l'ensemble des solutions pour les cas m > 6.Nous montrerons essentiellement que ces nombres de Niven sont toujours en nombre fini pour tout m positif et nous en exhiberons de nombreux exemples jusqu'à m = 30000 en précisant quelques-unes de leurs propriétés. En particulier, pour tout m, leurs nombres de chiffres sont au plus égaux à un majorant R(m) que l'on déterminera. Nous avons par ailleurs explicité tous les cycles d'ordre 2 à 6 de l'application n → Sm pour de nombreuses valeurs de m de 2 à 30000. Ces cycles sont en nombre fini et tous les points de cycles ont aussi au plus R(m) chiffres.Les résultats numériques proposés ont été obtenus essentiellement avec le logiciel PARI/GP, particulièrement adapté à nos calculs.Un code en ligne permet de calculer tous les nombres de Niven pour des puissances m jusqu'à m = 260.