From Five-Class Blocks to the Riemann Hypothesis

English: **From Five-Class Blocks to the Riemann Hypothesis: Residue Laws, Forced Character Products, and Numerical Tests at 10⁸ Primes** This working note establishes a direct mathematical bridge from an elementary five-class decomposition of the non-prime integers to the Riemann Hypothesis. The class AA = {1} ∪ {odd composites} gives rise to a counting function S_A(x) and a Dirichlet series D_A(s) = (1 − 2⁻ˢ)ζ(s) − P(s) + 2⁻ˢ, where P(s) is the prime zeta function. The central theorem-level result is that the analytic continuation of D_A(s) to Re(s) > 1/2 is equivalent to the Riemann Hypothesis. Five exact results are proved: (1) the D_A(s) decomposition; (2) the RH equivalence; (3) the bridge identity D_A(s) = 1 + OC(s) connecting to a companion ζ(s)−1 decomposition into prime, even-composite, and odd-composite parts; (4) a forced character product theorem showing that for the character χ_{3,5} mod 30, the product χ(p)·χ(p+g) is arithmetically determined (not statistical) whenever 10 divides the prime gap g; (5) a general forced product theorem for arbitrary real Dirichlet characters modulo squarefree q, proved via the Chinese Remainder Theorem and the structure of (ℤ/pℤ)× for small primes. Three conjectures are formulated and tested numerically using 102,886,526 primes (up to 2.1 × 10⁹, runtime 449 seconds on a consumer PC): Conjecture A (residue-filtered Chebyshev bound): strongly confirmed. The error ratio R(x) falls monotonically to below 1.4 × 10⁻⁴ for all tested gaps. A conditional proof under GRH is provided. Conjecture B' (corrected character excess decay): confirmed. The excess decays as O(1/log x), identified as the Chebyshev prime-race bias — a direct fingerprint of L-function zeros on the critical line. This leads to the refined Conjecture B'' with an explicit bias constant β(g, χ). Conjecture C (spectral correspondence between DFT frequencies and L-zeros): remains open due to insufficient data resolution. The forced character product theorem (results 4 and 5) is a new exact result about Dirichlet characters evaluated at shifted prime residues. It was not anticipated but discovered through the honest failure of the original decay conjecture, which confused arithmetic structure with statistical signal. The identification of the 1/log(x) decay as Chebyshev bias connects the project's empirical findings directly to the analytic theory of prime races and L-function zeros. The note maintains a strict three-layer separation between proven theorems, numerically supported conjectures, and open problems. It is intended as a working document for continuation by other researchers. Deutsch: **Von Fünf-Klassen-Blöcken zur Riemannschen Vermutung: Residuengesetze, erzwungene Charakterprodukte und numerische Tests bei 10⁸ Primzahlen** Dieses Arbeitspapier stellt eine direkte mathematische Brücke her von einer elementaren Fünf-Klassen-Zerlegung der Nicht-Primzahlen zur Riemannschen Vermutung. Die Klasse AA = {1} ∪ {ungerade Zusammengesetzte} erzeugt eine Zählfunktion S_A(x) und eine Dirichlet-Reihe D_A(s) = (1 − 2⁻ˢ)ζ(s) − P(s) + 2⁻ˢ, wobei P(s) die Primzahl-Zeta-Funktion ist. Das zentrale Theorem-Resultat ist, dass die analytische Fortsetzung von D_A(s) auf Re(s) > 1/2 äquivalent zur Riemannschen Vermutung ist. Fünf exakte Resultate werden bewiesen: (1) die D_A(s)-Zerlegung; (2) die RH-Äquivalenz; (3) die Brückenidentität D_A(s) = 1 + OC(s), die eine Verbindung zur ζ(s)−1-Zerlegung in Primzahl-, gerade zusammengesetzte und ungerade zusammengesetzte Anteile herstellt; (4) ein Satz über erzwungene Charakterprodukte, der zeigt, dass für den Charakter χ_{3,5} mod 30 das Produkt χ(p)·χ(p+g) arithmetisch determiniert ist (nicht statistisch), wann immer 10 die Primzahllücke g teilt; (5) ein allgemeiner Satz über erzwungene Produkte für beliebige reelle Dirichlet-Charaktere modulo quadratfreiem q, bewiesen über den Chinesischen Restsatz und die Struktur von (ℤ/pℤ)× für kleine Primzahlen. Drei Vermutungen werden formuliert und numerisch getestet mit 102.886.526 Primzahlen (bis 2,1 × 10⁹, Laufzeit 449 Sekunden auf einem gewöhnlichen PC): Vermutung A (residuengefilterte Chebyshev-Schranke): stark bestätigt. Das Fehlerverhältnis R(x) fällt monoton auf unter 1,4 × 10⁻⁴ für alle getesteten Lücken. Ein bedingter Beweis unter GRH wird geliefert. Vermutung B' (korrigierter Charakter-Excess-Abfall): bestätigt. Der Excess fällt als O(1/log x), identifiziert als der Chebyshev-Primzahl-Rennen-Bias — ein direkter Fingerabdruck der L-Funktions-Nullstellen auf der kritischen Geraden. Dies führt zur verfeinerten Vermutung B'' mit einer expliziten Bias-Konstante β(g, χ). Vermutung C (spektrale Korrespondenz zwischen DFT-Frequenzen und L-Nullstellen): bleibt offen wegen unzureichender Datenauflösung. Der Satz über erzwungene Charakterprodukte (Resultate 4 und 5) ist ein neues exaktes Ergebnis über Dirichlet-Charaktere auf verschobenen Primzahlresten. Er war nicht vorhergesehen, sondern wurde durch das ehrliche Scheitern der ursprünglichen Abfallvermutung entdeckt, die arithmetische Struktur mit statistischem Signal verwechselt hatte. Die Identifikation des 1/log(x)-Abfalls als Chebyshev-Bias verbindet die empirischen Befunde des Projekts direkt mit der analytischen Theorie der Primzahlrennen und L-Funktions-Nullstellen. Das Papier hält eine strikte Drei-Schichten-Trennung ein zwischen bewiesenen Sätzen, numerisch gestützten Vermutungen und offenen Problemen. Es ist als Arbeitsdokument zur Weiterführung durch andere Forschende gedacht.