Programme RH-adjacent : branche r = p^k - 1. Note maitre etendue

On etablit quatre resultats principaux sur la valuation p-adiquedes coefficients S_r = [z^r] exp(somme_{n>=1} z^n / (n(n+1))) pourr de la forme p^k - 1, avec p >= 3 premier impair : (1) Formule fermee : v_p(S_{p^k-1}) = -(p^{k+1} - p - k(p-1)) / (p-1)^2. (2) Recurrence centrale : pour a_k := v_p((2(p^k-1))!) + v_p(S_{p^k-1}),on a a_{k+1} = p*a_k + (p-2)k avec a_1 = 0, soit la forme closea_k = (p-2) * somme_{j=1}^{k-1} j*p^{k-1-j}. (3) Conjecture digitale : pour tout p >= 3, k >= 1, q >= 1, en posantm_k = (p^{k+1} - p)/(p-1), on a q + s_p(m_k + q(p-2)) >= k+2. (4) Formule universelle modulo p : p^{D_k*} S_{p^k-1} = (-1)^{k(3-k)/2}modulo p, valeur INDEPENDANTE du premier p, ne dependant que de k mod 4. La preuve principale repose sur un theoreme d'unicite de la partitionoptimale lambda* = (p-1)^{M_k} pour la fonction de coutD(lambda) = somme v_p(m_i!) + somme m_i * g(i), g(i) = v_p(i(i+1)).L'unicite resulte d'une borne combinee multinomial-Kummer + Legendre+ lemme structurel ell