Le développement pp p-adique de Spk−1S_{p^k-1} Spk−1 : théorèmes mod p2p^2 p2 et mod p3p^3 p3, invariants combinatoires EpE_p Ep et FpF_p Fp

Soit f(z)=e⋅(1−z)1/z−1=exp⁡(∑n≥1zn/(n(n+1)))f(z) = e \cdot (1-z)^{1/z-1} = \exp(\sum_{n \geq 1} z^n/(n(n+1))) f(z)=e⋅(1−z)1/z−1=exp(∑n≥1zn/(n(n+1))), et Sr=[zr] f(z)S_r = [z^r]\,f(z) Sr=[zr]f(z). Pour tout premier p≥3p \geq 3 p≥3 et tout entier k≥1k \geq 1 k≥1, la formule universelle pDk∗⋅Spk−1≡(−1)k(3−k)/2(modp)p^{D_k^*} \cdot S_{p^k-1} \equiv (-1)^{k(3-k)/2} \pmod{p} pDk∗⋅Spk−1≡(−1)k(3−k)/2(modp) ne dépend pas de pp p, où Dk∗=∑j=0k−1(k−j)pjD_k^* = \sum_{j=0}^{k-1}(k-j)p^j Dk∗=∑j=0k−1(k−j)pj. Cette note établit deux résultats principaux. (1) Une formule fermée modulo p2p^2 p2, démontrée rigoureusement et inconditionnellement pour tout k≥1k \geq 1 k≥1 et tout p≥3p \geq 3 p≥3 premier : pDk∗⋅Spk−1≡(−1)k(3−k)/2(1+p⋅((k−1)Wp−(k−2)−Ep))(modp2)p^{D_k^*} \cdot S_{p^k-1} \equiv (-1)^{k(3-k)/2}\bigl(1 + p \cdot ((k-1)W_p - (k-2) - E_p)\bigr) \pmod{p^2}pDk∗⋅Spk−1≡(−1)k(3−k)/2(1+p⋅((k−1)Wp−(k−2)−Ep))(modp2) où WpW_p Wp est le quotient de Wilson et Ep:=[zp−1]exp⁡(∑j=1p−2zj/(j(j+1)))E_p := [z^{p-1}]\exp(\sum_{j=1}^{p-2} z^j/(j(j+1))) Ep:=[zp−1]exp(∑j=1p−2zj/(j(j+1))) un nouveau coefficient combinatoire dans Z(p)\mathbb{Z}_{(p)} Z(p). La démonstration combine une décomposition par défaut, un lemme de Legendre pp p-adique pour les coefficients d'exponentielles tronquées, et le théorème de Kummer. (2) Un théorème modulo p3p^3 p3 pour k=2k=2 k=2, faisant intervenir le quotient de Glaisher Wp(2)W_p^{(2)} Wp(2) et un nouvel invariant FpF_p Fp défini structurellement, dont la suite calculée jusqu'à p=23p=23 p=23, à savoir (0,4,3,2,6,3,16,9)(0, 4, 3, 2, 6, 3, 16, 9) (0,4,3,2,6,3,16,9), est absente d'OEIS en avril 2026. Vérification numérique sur 21 paires (p,k)(p, k) (p,k). Les premiers de Wilson {5,13,563}\{5, 13, 563\} {5,13,563} et le seul "premier de EE E" connu pour p≤100p \leq 100 p≤100, à savoir p=7p=7 p=7, sont discutés comme cas dégénérés de la formule.