Démonstration rigoureuse complète de la conjecture digitale (Théorème 7.1 de la note maître étendue)

On donne une démonstration rigoureuse complète et autonome du Théorème 7.1 de la note maître étendue (DOI 10.5281/zenodo.19773878) : pour tout premier p ≥ 3, tout entier k ≥ 1 et tout q ∈ [1, m_k], on a q + s_p(m_k + q(p-2)) ≥ k + 2, où m_k = (p^(k+1) - p)/(p - 1). La preuve se décompose en quatre régimes selon les valeurs de (p, q) et n := q(p-2). Les régimes q ∈ {1, 2, 3}, p = 3 avec q ≥ 4, et p ≥ 5 avec n < p² se traitent par analyse directe des chiffres en base p. Le régime résiduel (p ≥ 5, q ∈ [4, k+1], n ≥ p²) requiert un argument plus subtil combinant un lemme de consommation (C ≤ s_p(n)/(p-2)) et une borne d'enveloppe (n - s_p(n) ≥ p² - 1 pour n ≥ p²). Plus de 36 000 cas vérifiés en arithmétique exacte pour p ∈ {3, 5, ..., 23} et k ≤ 24, sans exception. La conjecture digitale étant ainsi fermée, le verrou (i) du §7 de la note maître saute, et la récurrence centrale a_{k+1} = p·a_k + (p-2)k devient conditionnelle au seul Sub-Lemme B' (descent dominance). Assistance technique de rédaction et vérification : Claude Opus 4.7 (Anthropic).