Le théorème miroir de Fino. Une règle prédictive locale sur la famille (p_{8+10n}, p_{10+10n}) des nombres premiers et la caractérisation combinatoire des six configurations miroir . Premier et unique exemple, à notre connaissance, d'une règle prédictive locale sur les nombres premiers avec caractérisation combinatoire close des défaillances

Soit (p_k) la suite des nombres premiers indexée par leur rang. On considère la famille de paires (p_{8+10n}, p_{10+10n}) pour n ≥ 0, inaugurée par la paire fondatrice (p_8, p_{10}) = (19, 29) — deuxième occurrence dans la liste des premiers de deux nombres consécutivement listés partageant leur dernier chiffre, et première de la famille gap-2 entre rangs. On définit une règle prédictive locale R qui teste le partage du dernier chiffre dans neuf paires candidates obtenues par décalages indépendants ±1 sur chaque rang, sous l'équivalence triangulaire 7 ≡ 1 (issue de T(7) = 28 → 1). Sur les 10⁶ premières paires (rangs jusqu'à ~10⁷), la règle R admet un taux de succès empirique de 98,43 %. Le résultat principal — le théorème miroir de Fino — est un théorème combinatoire de structure : toute défaillance de la règle R correspond exactement à l'une des six configurations miroir (a, a, X, b, b) avec {a, X, b} = {1, 3, 9}, dans la suite des chiffres équivalents aux rangs (7+10n, 8+10n, 9+10n, 10+10n, 11+10n). La preuve est élémentaire (énumération exhaustive sur 3⁵ = 243 configurations). À notre connaissance, c'est le premier et unique exemple d'une règle prédictive locale ponctuelle sur les nombres premiers combinant un taux de succès empirique élevé avec une caractérisation combinatoire close des défaillances. Le résultat se situe explicitement dans le paysage des biais de Lemke Oliver–Soundararajan (PNAS 2016), dont il offre une fenêtre locale et finie, sous un format hybride (règle ponctuelle + structure géométrique des trous) qui n'apparaît pas, à notre connaissance, dans la littérature.