Un invariant p-adique d'ordre supérieur à la congruence de Glaisher et les premiers de Glaisher au sens étroit

Glaisher (1900) a établi que pour tout premier p ≥ 5, la somme harmonique H_{p-1} := sum_{k=1}^{p-1} 1/k vérifie H_{p-1} ≡ -p² · B_{p-3}/3 (mod p³). Cette congruence ne se relève pas, en général, à p^4. Nous définissons l'invariant p-adique X(p) := (H_{p-1} + p² B_{p-3}/3) / p^3 (mod p) et calculons X(p) pour les 44 premiers de Glaisher 5 ≤ p ≤ 199. Nous identifions deux premiers de Glaisher au sens étroit (X(p) = 0) parmi p ≤ 199 : p = 17 et p = 59. Ces deux premiers ne sont pas des premiers de Wolstenholme (vérification directe sur les coefficients binomiaux centraux). Le résultat principal est le théorème : 2 X(p) + Y(p) ≡ 0 (mod p) pour tout p ≥ 7, où Y(p) est l'analogue de X(p) pour la somme harmonique d'ordre 2. Cette relation est l'analogue à l'ordre p^3 de l'identité classique de Sun à l'ordre p². Sa preuve repose sur la décomposition en éléments simples et la généralisation de Glaisher pour les sommes H^(k)_{p-1} (super-Wolstenholme cubique). Nous identifions également un premier de Glaisher cubique au sens étroit, p = 37, satisfaisant H^(3)_{p-1} ≡ 0 (mod p^3) au lieu de (mod p²) en général. La recherche exhaustive d'une caractérisation arithmétique de X(p) comme combinaison linéaire entière de B_{p-3}, B_{p-5}, B²_{p-3} avec coefficients dans [-50, 50]^4 sur les 44 premiers ne retourne aucune solution : X(p) apparaît "orpheline" au sens des invariants Bernoulli classiques. Le bundle reproductible joint contient le PDF, la source LaTeX, et 4 scripts Python (sympy + fractions exactes) couvrant la totalité des affirmations numériques du texte. ---- ENGLISH ---- We define a new p-adic invariant X(p) that captures the next-order deviation in Glaisher's 1900 congruence for H_{p-1}. Two strict Glaisher primes (X(p) = 0) are identified for p ≤ 199: 17 and 59. Neither is a Wolstenholme prime. Our main result is the theorem 2 X(p) + Y(p) ≡ 0 (mod p) for p ≥ 7, where Y(p) is the analogous invariant for the second-order harmonic sum. The proof uses partial fractions and Glaisher's super-Wolstenholme cubic congruence. A new cubic strict Glaisher prime p = 37 is also identified. An exhaustive grid search rules out X(p) as a small-integer linear combination of classical Bernoulli invariants. The accompanying bundle provides full reproducibility (LaTeX source + 4 Python scripts).