Borne supérieure δ_p(p^k − 1) ≤ D*_k au niveau 1 : preuve formelle par Lucas, Frobenius, et une identité génératrice télescopique

Soit p un nombre premier impair, K ≥ 2. On pose R := p^K - 1, M_K := (p^K - 1)/(p - 1), j* := p · M_K, et D*_K := (p^{K+1} - p - K(p-1))/(p-1)². On considère la suite (S_r) définie par e·(1-z)^{1/z-1} = Σ_r S_r z^r, et le déficit p-adique δ_p(j) := v_p(j!) - v_p(c_{R, j}), où c_{R, j} est le j-ième coefficient de Mahler de g_R(n) := [z^R] (1-z)^{1-n} · Π(1-l·z). Le programme antérieur (DOI 19773878, 19883335) établit la formule fermée v_p(S_{p^k-1}) = -D*_K et la borne inférieure δ_p(j*) = D*_K (saturation à j*). La présente note PROUVE FORMELLEMENT la borne supérieure au NIVEAU 1 : THÉORÈME : Pour tout Δ ∈ [1, p-1], c_{R, j*+Δ} ≡ 0 mod p ; et c_{R, j*} ≡ (-1)^{M_K} mod p (saturant unique). La preuve utilise un pont Newton-Girard ↔ Stirling rigoureux (e_i(0,...,n-1) = c(n, n-i) avec c les Stirling non-signés de 1ère espèce), une formule explicite entière pour c_{R, j}, et une identité génératrice télescopique nouvelle : Σ_{T ⊆ [K]} (-1)^{|T|} A(z)^{s_T} ≡ z^R · (1-z)/(1-z^{p^K}) mod p, où A(z) := (1-z^{p-1})/(1-z^p) et s_T := Σ_{i ∈ T} p^{i-1}. Conséquences : margin(j*+Δ) ≥ 1 au niveau 1 (75/75 vérifications sur 4 configurations), et corollaire retrouvant la borne inférieure DOI 19883335. Outils nouveaux : récurrence Δg_R = -(m-1)·Σ g_k, décomposition c_{R, j*+1} = T_1 - T_2. Technical assistance: Claude Opus 4.7 (Anthropic). Numerical verifications and proof structuring performed in collaboration with Claude during the session of 11 May 2026.