Une caractérisation conjecturale des premiers de Wilson via la fonction génératrice tronquée G_p(z), réduction Bernoulli et invariant orphelin A(p)

Nous formulons et vérifions numériquement (23/23 sur p ≤ 97) une conjecturecaractérisant les premiers de Wilson via une fonction génératrice doublementtronquée G_p(z) := exp_p^trunc(Σ_{k=1..p-2} z^k/(k(k+1))) issue du programmep-adique S_{p^k−1} (cf. DOI 19796004). Précisément : CONJECTURE-G. Pour tout premier p ≥ 5, T_p(p) := [z^p] G_p(z) ≡ 0 mod p ⟺ p est un premier de Wilson. Nous établissons six lemmes analytiques sur les coefficients c_n(p) := [z^p]inner_p^n / n! (notés L1..L5, L7), un septième (L6) restant conjectural maisvérifié 11/11. À partir d'une identité classique de Z.-W. Zhao(ζ_p^F(1,1,1) ≡ −2 B_{p−3} mod p, Cor. 4.2), nous obtenons la décompositionBernoulli : T_p(p) ≡ 274/135 − B_{p−3}/3 + R_4(p) mod p (p ≥ 7), où R_4(p) := Σ_{n=4..p−4} c_n(p) (somme intermédiaire). En définissantA(p) := T_p(p) · W_p^{−1} mod p pour p non-Wilson, nous obtenons l'équivalence Conjecture-G ⟺ A(p) ≢ 0 mod p pour tout p non-Wilson. Un test d'indépendance linéaire sur 19 premiers (p ∈ [11, 89] hors p = 13)montre que A(p) n'est combinaison ni à coefficients dans [−10, 10] (2 termes),ni dans [−3, 3] (couples), ni dans [−2, 2] (triplets) des invariants classiques{q_p(2), q_p(3), q_p(5), q_p(7), B_{p−3}, B_{p−5}, B_{p−7}, B_{p−9}} ni decombinaisons polynomiales simples (q_p(2)·q_p(3) + cste, polynômes quadratiquesen q_p(2)). A(p) constitue donc un nouvel invariant p-adique orphelin duprogramme. Le script Python verif_independante.py joint reproduit l'intégralité desvérifications en arithmétique exacte (fractions.Fraction), exécution ~ 9 s. L'assistance technique de Claude Opus 4.7 (Anthropic) a été utilisée pour : • la mise en forme de la note, • l'écriture et la vérification du script verif_independante.py, • la vérification numérique indépendante de toutes les briques. Les preuves analytiques (L1..L5, L7) ont été élaborées dans les sessions detravail antérieures (17 mai 2026), où Claude a servi de partenaire deréflexion et de vérification ; la responsabilité scientifique des résultatset des conjectures appartient exclusivement à l'auteur. L'identité de Zhao (Cor. 4.2) est citée comme résultat classique et ne faitpas l'objet d'une revendication d'originalité. La présente note est destinée à mettre à disposition publique pour vérificationindépendante par la communauté.