Un invariant p-adique d'ordre supérieur à la congruence de Glaisher et les premiers de Glaisher au sens étroit (v2.0)

Glaisher (1900) a établi que pour tout premier p ≥ 5, la somme harmonique H_{p-1} vérifie H_{p-1} ≡ -p² · B_{p-3}/3 (mod p³). La version 1.0 de ce dépôt (7 mai 2026) définissait l'invariant p-adique X(p) := (H_{p-1} + p² B_{p-3}/3) / p³ (mod p) et démontrait le théorème 2 X(p) + Y(p) ≡ 0 (mod p) pour tout p ≥ 7. VERSION 2.0 (20 mai 2026) — ERRATUM SUBSTANTIEL. Cette version intègre trois apports nouveaux suite à la consultation intégrale du PDF de Claire Levaillant arXiv:2104.12264v2. (1) ANTÉCÉDENTS BIBLIOGRAPHIQUES. Le théorème 2X(p) + Y(p) ≡ 0 mod p est identifié comme corollaire direct de Sun 2000 (Result 7, k=1 et k=2 ; Discrete Applied Math. 105, 193-223) en conjonction avec Ernvall-Metsänkylä 1991 (Math. Comp. 56, 851-858). Le théorème est dérivable depuis 2000 au plus tard. (2) FORMULES EXPLICITES pour X(p) ET Y(p) : X(p) ≡ -B_{p-3}/9 + (1/2)·Σ q_a²·a^{p-3} mod p et Y(p) ≡ (2/9)·B_{p-3} - Σ q_a²·a^{p-3} mod p, où q_a = (a^{p-1}-1)/p est le quotient de Fermat. Toutes deux vérifiées en arithmétique exacte (sympy/Fraction) 22/22 sur p ∈ [7, 97]. Le théorème 2X+Y ≡ 0 mod p en découle algébriquement. (3) RELATIVISATION DU STATUT "ORPHELIN" de X(p). X(p) n'est pas un invariant orphelin au sens absolu : c'est un invariant orphelin par rapport à l'algèbre restreinte {B_{p-3}, B_{p-5}, B²_{p-3}} avec |c| ≤ 50 testée dans v1.0. Une fois la somme Σ q_a²·a^{p-3} ajoutée à l'algèbre, X(p) admet une expression exacte. BONUS : p = 17 est "doublement étroit" (X(17) = Y(17) = 0). Par le corollaire 2X+Y ≡ 0 mod p, cela est équivalent au caractère "étroit simple" — résultat propre nouveau. VÉRIFICATIONS NUMÉRIQUES INDÉPENDANTES. Script verif_v2_complete.py : 8 blocs (Sun Result 7 k=1, Sun Result 7 k=2, Ernvall-Metsänkylä, Sun K2, formule X, formule Y, identité 2X+Y, sanity check Result 6), 150/150 PASS en arithmétique exacte sur p ∈ [7, 97]. Script audit_final.py : chaîne d'égalités du §5 et §6 testée ligne par ligne, 10/10 chaque étape. Tout le contenu de la v1.0 reste valide ; les apports v2.0 sont purement bibliographiques et explicatifs. Erratum NON-RÉTRACTIF. Assistance technique : Claude Opus 4.7 (Anthropic).