Profondeur P-adique des nombres de Bernoulli-Carlitz via l'equivariance AGL des valeurs propres : une formule exacte dans le cadre Angles-Ngo Dac-Tavares Ribeiro

A = F_q[theta], K = F_q(theta), q une puissance d'un premier p. On etablit uneformule EXACTE pour la profondeur P-adique (ordre d'annulation) des nombres deBernoulli-Carlitz BC_{q^e - N} en un premier unitaire P de A, de degre e = deg P.Dans le cadre d'Angles-Ngo Dac-Tavares Ribeiro (ANTR, "Exceptional Zeros ofL-series and Bernoulli-Carlitz Numbers", Annali SNS Pisa 19(3), 2019), on montreque les valeurs propres alpha_j de l'operateur phi_t = a_N(t) phi + t sur leurespace H sont EQUIVARIANTES sous le groupe affine AGL(1, F_q) agissant partheta -> c theta + s ; il s'ensuit que les formes normalisees beta_j = (alpha_j -theta)/[1] -- et leurs fonctions symetriques elementaires -- appartiennent a F_q[u],ou u = [1]^{q-1} et [1] = theta^q - theta. Combinee a la decomposition de Frobenius[d] = [1] X_d(u), cette symetrie donne le resultat principal : depth(P) = v_P(BC_{q^e - N}) = multiplicite de c = [1]^{q-1} mod P comme racine de G_e(u) = produit_j ( X_e(u) - beta_j(u) ) dans F_q[u]. Ceci RAFFINE le critere de seuil (depth >= 1) et la non-annulation asymptotiqued'ANTR en une profondeur EXACTE valable a TOUT degre e >= 2 (notamment les petitsdegres, hors du regime asymptotique). La question infinie ("quels premiers, a quelordre") est ainsi reduite a une question finie (racines et multiplicites d'unpolynome explicite). Verifications par arithmetique EXACTE (script joint, Python pur) :beta_j / fonctions symetriques dans F_q[u] sur 111/111 cas (q=5 r=1 : 70 ; q=7 r=1 :21 ; q=5 r=2 : 20) ; depth = multiplicite sur premiers concrets (q=5, degre 4). On consigne aussi une EPINE DORSALE de Frobenius pour la loi -- encore ouverte -- desmultiplicites : beta_1 est "Frobenius-split" (exposants = 0,1 mod q) si et seulementsi le chiffre des unites n_0 c theta + s; hence thenormalized eigenvalue forms beta_j = (alpha_j - theta)/[1] -- and their elementarysymmetric functions -- lie in F_q[u], with u = [1]^{q-1}, [1] = theta^q - theta.Combined with the Frobenius decomposition [d] = [1] X_d(u), this yields: depth(P) = v_P(BC_{q^e - N}) = multiplicity of c = [1]^{q-1} mod P as a root of G_e(u) = prod_j ( X_e(u) - beta_j(u) ) in F_q[u]. This refines ANTR's mod-P threshold (depth >= 1) and asymptotic non-vanishing intoan exact depth valid at EVERY degree e >= 2 (in particular small degrees, outsidethe asymptotic range), reducing an infinite question ("which primes, to what order")to a finite one (roots and multiplicities of an explicit polynomial). Verified byexact arithmetic (accompanying pure-Python script): beta_j / symmetric functions inF_q[u] on 111/111 cases (q=5 r=1: 70; q=7 r=1: 21; q=5 r=2: 20); depth = multiplicityon concrete primes (q=5, degree 4). We also record a Frobenius backbone for the stillopen law of multiplicities: beta_1 is "Frobenius-split" (exponents = 0,1 mod q) iffthe units digit n_0