Layered Protocol Cosmology (LPC): Phenomenological Mapping of Real Scalar Effective Density to Brans-Dicke Theory and the Axiom of Logarithmic Information Granularity / 層状プロトコル宇宙論(LPC): 実スカラー有効密度のBrans-Dicke型理論への現象論的写像と対数的情報粒状性公理

[English Abstract] This paper is the first technical paper examining a specific, limited subset of the Layered Protocol Cosmology (LPC) framework. While the overarching LPC concept paper (V1) treats spacetime as a macroscopic "information stabilization protocol" encompassing higher-dimensional open systems and complex fields, this paper strictly focuses on the phenomenological implementation of coarse-grained information degrees of freedom within a four-dimensional effective field theory. Specifically, we propose a mathematical mapping between a real scalar effective density $\Phi(x)$ and a Brans-Dicke-type scalar-tensor theory. Furthermore, we introduce the axiom of logarithmic information granularity, analyzing how the discretization and coarse-graining of fundamental information states influence the effective gravitational coupling. The primary objective of this paper is not to present a complete theory of quantum gravity, but to provide a concrete, falsifiable mathematical foundation for the scalar-tensor representation of the coupling between information and geometry. [日本語概要] 本稿は、層状プロトコル宇宙論(LPC)構想の特定の限定された部分を数理的に検討する第一技術論文である。LPCの全体概念論文(V1)が、高次元開放系や複素場を包含する巨視的な「情報安定化プロトコル」として時空を扱う一方で、本稿では4次元の有効場理論の枠組みにおける、粗視化された情報自由度の現象論的実装に焦点を絞る。具体的には、実スカラー有効密度 $\Phi(x)$ とBrans-Dicke型スカラー・テンソル理論との間の数理的写像を提案する。さらに、対数的情報粒状性公理を導入し、微視的な情報状態の離散化および粗視化が、有効重力結合にどのような影響を与えるかを解析する。本稿の主たる目的は、完成された量子重力理論を提示することではなく、情報と幾何学の結合をスカラー・テンソル表現として扱うための、具体的かつ反証可能な数理的基盤を提供することである。