Tenzorinvariánsok egységes rendszere és integrálredukciós tételei

A dolgozat a klasszikus vektoranalízis teljes operátorkészletét és integráltételeit egyetlen egységes rendszerbe rendezi. A kiindulópont algebrai: egy p -edrendű tenzor epsilon -duálisa n dimenzióban, vagyis rendcsökkentő leképezés az n-p rendre. Az analitikus rész egy második, szerkezetileg ellentétes objektumon nyugszik, a rendemelő teljes deriválton: vektormezőre ez a deriválttenzor, a vektoranalízis minden klasszikus differenciáloperátora ennek egy-egy invariáns szelete, és minden integráltétele ugyanannak az egyetlen dimenziólétrának egy-egy foka. A kettő szétválasztása – az egyik tengely az epsilon -ból, a másik a metrikából épül – az, ami lehetővé teszi a szimmetrikus és az antiszimmetrikus szektor együttes kezelését. Az első emeleten a div–rot–dev–jad operátornégyes áll. A mögötte álló felbontásnak három szelete van – nyomrész, antiszimmetrikus és szimmetrikus nyommentes rész, komponensszámban 9=1+3+5 –, ahol a rot és a jad az antiszimmetrikus szelet két olvasata. Mindegyik szelethez egzakt, elsőrendű integrálredukciós tétel tartozik – az antiszimmetrikus szelethez a jad-alakban, amelynek a rot a háromdimenziós duális olvasata –, és mindegyik tétel R^3 -ban, R^4 -ben és R^5 -ben azonos alakban érvényes. Egy teljességi tétel megmutatja, hogy a mestertétel hatókörén belül ez a lista kimerítő: vektormezőre pontosan három ilyen, forgatásra nézve természetes tétel van, és nincs negyedik – kivéve négy dimenzióban, ahol az irányítási csoport szemében a jad-tétel önduális felekre hasad. A második emeletet a kompozíciók alkotják: a Hesse-tenzor mint grad∘grad, a Laplace-operátor mint div∘grad, továbbá a Green-azonosságok és a Monge–Ampère-tételek. A megfordítási tételek – a Poincaré-lemmák és a Helmholtz-felbontás – ekvivalencia-kritériummá élesítik a rendszert, létrafokonként a maga topológiai feltételével. Kiemelt alkalmazásként a w=ict beágyazás mellett a négyespotenciálra alkalmazott jad operátor az elektromágneses térerősségtenzort adja: a homogén Maxwell-egyenletek és a fluxustétel azonosságként, a hullámegyenlet és a Poynting-tétel kompozícióként adódik – e rendszerben tehát, ha egyszer a potenciált tekintjük elsődleges változónak, a mágneses tér forrásmentessége azonosságként következik, nem pedig feltevésként, a fizikai tartalmat pedig a megfordítás hordozza: mágneses monopólus pontosan azt jelentené, hogy a térerősségtenzor nem írható a potenciál jad-jaként. A rendszer állításait a dolgozathoz mellékelt szkriptek ellenőrzik: szimbolikusan, polinomiális mezők egész osztályain, és numerikusan, ahol a futások konvenció- és átírási hibát szűrnek, nem bizonyítanak; a kettőt a Függelék választja szét. A [19] és a [21] társmunkából átvett számértékek forrását ott jelöljük meg.